Кіріспе

Бірдей нәтиже беретін карталар жинағы. Математикада, әсіресе категориялар теориясында, коммутативті диаграмма – бірдей бастапқы және соңғы нүктелері бар диаграммадағы барлық бағытталған жолдардың бірдей нәтижеге келіп тірелетін диаграмма. Коммутативті диаграммалар категориялар теориясында алгебрадағы теңдеулерге ұқсас роль атқарады.

Коммутативтілікті тексеру

Коммутативтілік кез келген шекті сандағы қабырғалары бар көпбұрыш үшін түсінікті (оның ішінде 1 немесе 2 қабырғасы барлар да), және диаграмма коммутативті болады, егер оның кез келген көпбұрышты кіші-диаграммасы коммутативті болса. Диаграмма коммутативті болмауы да мүмкін, яғни диаграммадағы әртүрлі жолдардың біріктірілуі бірдей нәтиже бермеуі мүмкін.

1-ші мысал

Сол жақтағы диаграммада бірінші изоморфизм теоремасы көрсетілген, үшбұрыштың коммутативтілігі дегеніміз . Оң жақтағы диаграммада квадраттың коммутативтілігі дегеніміз .

Диаграмманы қуып шығу

Диаграмманы қуу (кейде диаграммалық іздеу деп те аталады) – математикалық дәлелдеу әдісі, әсіресе гомологиялық алгебрада қолданылады. Бұл әдіс коммутативтік диаграмманың элементтерін қадағалау арқылы кейбір морфизмнің қасиеттерін дәлелдеуге мүмкіндік береді. Диаграмманы қуу арқылы дәлелдеу әдетте диаграмманың қасиеттерін – мысалы, инъективті немесе сюржетивті бейнелеулерді, немесе толық тізбектерді формалды түрде қолдануды қамтиды. Диаграмманың графикалық бейнесі тек көмекші құрал болатын силогизм құрастырылады. Содан кейін, қажетті элемент немесе нәтиже алынғанға дейін, диаграмма бойынша элементтерді "қу" (із кесу) жүргізіледі. Диаграмманы қуу арқылы дәлелдеудің мысалдарына бес лемма, жылан леммасы, зигзаг леммасы және тоғыз лемма жатады.

Жоғары категориялар теориясында

Жоғары категориялар теориясында заттар мен жебелерді ғана емес, сонымен қатар жебелердің арасындағы жебелерді, жебелердің арасындағы жебелердің арасындағы жебелерді және т.б. шексіз қарастырады. Мысалы, Cat кіші категориялар санаты табиғи түрде 2-санат болып табылады, онда функторлар оның жебелері ретінде, ал табиғи түрлендірулер – функторлар арасындағы жебелер ретінде қарастырылады. Осы ретте коммутативтік диаграммаларға осы жоғары деңгейдегі жебелер де кіре алады, олар көбінесе келесі стильде бейнеленеді: Мысалы, келесі (біршама қарапайым) диаграмма екі категорияны – және – және екі функторды – : → – және табиғи түрлендіруді – : ⇒ көрсетеді.

2-санатта композицияның екі түрі бар (тік және көлденең композиция деп аталады), оларды да диаграммалар арқылы көрсетуге болады (мысалдар үшін 2-санат#Анықтама қараңыз).