Введение
Сборник диаграмм, дающих один и тот же результат.
В математике, и особенно в теории категорий, коммутативная диаграмма — это диаграмма, в которой любые направленные пути с одинаковой начальной и конечной точками приводят к одному и тому же результату. Считается, что коммутативные диаграммы играют в теории категорий ту же роль, что и уравнения в алгебре.
Проверка коммутативности
Коммутативность имеет смысл для многоугольника с любым конечным числом сторон (включая всего 1 или 2), и диаграмма коммутативна, если каждая её полигональная поддиаграмма коммутативна. Следует отметить, что диаграмма может быть некоммутативной, то есть композиция различных путей в диаграмме может приводить к разным результатам.
Пример 1
На левой диаграмме, выражающей первую теорему об изоморфизмах, коммутативность треугольника означает, что на правой диаграмме коммутативность квадрата означает .
Диаграмма преследования
Диаграммный поиск (также называемый диаграмматическим поиском) — это метод математического доказательства, особенно часто используемый в гомологической алгебре, при котором устанавливается некоторое свойство морфизма путем прослеживания элементов коммутативной диаграммы. Доказательство с помощью диаграммного поиска обычно включает формальное использование свойств диаграммы, таких как инъективные или сюръективные отображения, или точные последовательности. Строится логическая цепочка рассуждений (силлогизм), для которой графическое представление диаграммы служит лишь наглядным пособием. В итоге приходится "прослеживать" элементы по диаграмме, пока не будет построен или проверен требуемый элемент или результат. Примеры доказательств, использующих диаграммный поиск, включают типичные доказательства пятилеммы, леммы змеи, зигзагообразной леммы и девятилеммы.
В теории высших категорий
В теории высших категорий рассматриваются не только объекты и стрелки, но и стрелки между стрелками, стрелки между стрелками между стрелками и так далее до бесконечности. Например, категория малых категорий Cat естественным образом является 2-категорией, с функторами в качестве стрелок и естественными преобразованиями в качестве стрелок между функторами. В этом контексте коммутативные диаграммы могут включать в себя и эти более высокие стрелки, которые часто изображаются следующим образом: Например, следующая (несколько тривиальная) диаграмма изображает две категории и , вместе с двумя функторами , : → и естественным преобразованием : ⇒ .
В 2-категории существует два вида композиции (называемые вертикальной и горизонтальной композицией), и они также могут быть изображены с помощью диаграмм наложения (см. 2-категория#Определение для примеров).