Кіріспе
Бүтін сандардың кіші топтарын және қосылғандағы олардың мінез-құлқын зерттеу. Қосымша сан теориясы – сан теориясының бүтін сандардың кіші топтары мен олардың қосылғандағы мінез-құлқына қатысты саласы. Көбірек абстрактілі тұрғыдан алғанда, қосымша сан теориясы қосу операциясы бар абельдік топтар мен коммутативті жартылай топтарды зерттіруді қамтиды. Қосымша сан теориясы комбинаторлық сан теориясымен және сандар геометриясымен тығыз байланысты. Зерттеудің екі маңызды нысаны – абельдік топ G элементтерінен алынған екі кіші жиын A және B жиындарының қосынды жиыны,
Additive number theory is the subfield of number theory concerning the study of subsets of integers and their behavior under addition. More abstractly, the field of additive number theory includes the study of abelian groups and commutative semigroups with an operation of addition. Additive number theory has close ties to combinatorial number theory and the geometry of numbers. Two principal objects of study are the sumset of two subsets A and B of elements from an abelian group G,
және A жиынының h-еселенген қосынды жиыны.
Қосымша сандар теориясы
Бұл сала негізінен (әдетте) бүтін сандар бойынша тікелей мәселелерді қарастыруға арналған, яғни A жиынының құрылымынан hA жиынының құрылымын анықтау: мысалы, A жиынының қандай элементтерін hA жиынында бейнелеуге болады, мұнда A – тұрақты кіші жиын. Бұл типтегі екі классикалық мәселе – Голдбах болжамы (2P жиыны екіден үлкен барлық жұп сандарды қамтиды деген болжам, мұнда P – жай сандардың жиыны) және Уэрингтің мәселесі (hAk жиыны барлық оң бүтін сандарды қамтиды деп кепілдік беру үшін h қаншалықты үлкен болуы керек деп сұрайды, мұнда – k-шы дәрежелердің жиыны). Бұл мәселелердің көпшілігі Харди-Литтлвуд шеңберлік әдісі және іріктеу әдістерінің құралдарын пайдалана отырып зерттеледі. Мысалы, Виноградов әрбір жеткілікті үлкен тақ санның үш жай санның қосындысы болатынын, демек, әрбір жеткілікті үлкен жұп санның төрт жай санның қосындысы болатынын дәлелдеді. Гильберт k > 1 болатын әрбір бүтін сан үшін, әрбір теріс емес бүтін санның k-шы дәрежелердің шектелген санының қосындысы болатынын дәлелдеді. Жалпы, теріс емес бүтін сандардың A жиыны, егер hA жиыны барлық оң бүтін сандарды қамтитын болса, h реттік негіз деп аталады, ал егер hA жиыны барлық жеткілікті үлкен бүтін сандарды қамтитын болса, асимптотикалық негіз деп аталады. Қазіргі уақыттағы осы саладағы көптеген зерттеулер шекті реттік жалпы асимптотикалық негіздердің қасиеттеріне қатысты. Мысалы, A жиыны h реттік ең аз асимптотикалық негіз деп аталады, егер A жиыны h реттік асимптотикалық негіз болса, бірақ A жиынының ешбір дұрыс кіші жиыны h реттік асимптотикалық негіз болмаса. Барлық h үшін h реттік ең аз асимптотикалық негіздердің бар екені дәлелденді, сонымен қатар h реттік асимптотикалық негіздер де бар, олар h реттік ең аз асимптотикалық негіздерді қамтымайды. Тағы бір қарастырылатын мәселе – n санын асимптотикалық негіздегі h элементтердің қосындысы ретінде бейнелеудің мүмкіндік саны қаншалықты кіші болуы мүмкін. Бұл – Эрдёш-Туранның қосымша негіздерге қатысты болжамының мазмұны.
is the set of k th powers). Many of these problems are studied using the tools from the Hardy Littlewood circle method and from sieve methods. For example, Vinogradov proved that every sufficiently large odd number is the sum of three primes, and so every sufficiently large even integer is the sum of four primes. Hilbert proved that, for every integer k > 1, every non negative integer is the sum of a bounded number of k th powers. In general, a set A of nonnegative integers is called a basis of order h if hA contains all positive integers, and it is called an asymptotic basis if hA contains all sufficiently large integers. Much current research in this area concerns properties of general asymptotic bases of finite order. For example, a set A is called a minimal asymptotic basis of order h if A is an asymptotic basis of order h but no proper subset of A is an asymptotic basis of order h. It has been proved that minimal asymptotic bases of order h exist for all h, and that there also exist asymptotic bases of order h that contain no minimal asymptotic bases of order h. Another question to be considered is how small can the number of representations of n as a sum of h elements in an asymptotic basis can be. This is the content of the Erdős–Turán conjecture on additive bases.