Введение

Исследование подмножеств целых чисел и их поведения при сложении. Аддитивная теория чисел — это раздел теории чисел, посвященный изучению подмножеств целых чисел и их поведению при сложении. В более абстрактном плане, область аддитивной теории чисел включает изучение абелевых групп и коммутативных полугрупп с операцией сложения. Аддитивная теория чисел тесно связана с комбинаторной теорией чисел и геометрией чисел. Два основных объекта исследования — это сумма множеств A и B, состоящих из элементов абелевой группы G,

и h-кратная сумма множества A.

Теория аддитивных чисел

Поле в основном посвящено рассмотрению прямых задач над (обычно) целыми числами, то есть определению структуры hA по структуре A: например, определению, какие элементы могут быть представлены в виде суммы элементов из hA, где A — фиксированное подмножество. Две классические проблемы этого типа — это гипотеза Гольдбаха (которая утверждает, что 2P содержит все четные числа, большие двух, где P — множество простых чисел) и проблема Уэринга (которая спрашивает, каким должно быть h, чтобы гарантировать, что hAk содержит все положительные целые числа, где Ak — множество k-х степеней). Многие из этих проблем изучаются с использованием инструментов из кругового метода Харди — Литтлвуда и ситовых методов. Например, Виноградов доказал, что каждое достаточно большое нечетное число является суммой трех простых чисел, и, следовательно, каждое достаточно большое четное целое число является суммой четырех простых чисел. Гильберт доказал, что для каждого целого числа k > 1 каждое неотрицательное целое число является суммой ограниченного числа k-х степеней. В общем случае, множество A неотрицательных целых чисел называется основой порядка h, если hA содержит все положительные целые числа, и называется асимптотической основой, если hA содержит все достаточно большие целые числа. Многие современные исследования в этой области касаются свойств общих асимптотических основ конечного порядка. Например, множество A называется минимальной асимптотической основой порядка h, если A является асимптотической основой порядка h, но никакое собственное подмножество A не является асимптотической основой порядка h. Доказано, что минимальные асимптотические основы порядка h существуют для всех h, и что также существуют асимптотические основы порядка h, которые не содержат минимальных асимптотических основ порядка h. Другой вопрос, который следует рассмотреть, — насколько малым может быть число представлений n в виде суммы h элементов в асимптотическом основании. Это содержание гипотезы Эрдеша — Турана об аддитивных основаниях.