Преобразования Лоренца: Основы и применение.

Введение

Семейство линейных преобразований

В физике преобразования Лоренца — это семейство из шести параметров линейных преобразований из одной системы координат в пространстве-времени в другую систему, движущуюся с постоянной скоростью относительно первой. Соответствующее обратное преобразование параметризуется отрицательным значением этой скорости. Преобразования названы в честь голландского физика Хендрика Лоренца. Наиболее распространенная форма преобразования, параметризованная действительной константой, представляющей скорость, направленную вдоль оси x, выражается как

где (t, x, y, z) и (t′, x′, y′, z′) — координаты события в двух системах отсчета с началом координат, совпадающим при t = t′ = 0, где штрихованная система отсчета наблюдается из нештрихованной системы как движущаяся со скоростью v вдоль оси x, где c — скорость света, а — фактор Лоренца. Когда скорость v намного меньше c, фактор Лоренца незначительно отличается от 1, но по мере приближения v к c, стремится к бесконечности. Значение v должно быть меньше c, чтобы преобразование имело смысл. Выражая скорость как , эквивалентная форма преобразования выглядит следующим образом:

Системы отсчета можно разделить на две группы: инерциальные (относительное движение с постоянной скоростью) и неинерциальные (ускоряющиеся, движущиеся по криволинейным траекториям, вращательное движение с постоянной угловой скоростью и т. д.). Термин «преобразования Лоренца» относится только к преобразованиям между инерциальными системами отсчета, обычно в контексте специальной теории относительности. В каждой системе отсчета наблюдатель может использовать локальную систему координат (обычно декартову в данном контексте) для измерения длин и часы для измерения интервалов времени. Событие — это то, что происходит в точке пространства в определенный момент времени, или, более формально, точка в пространстве-времени. Преобразования связывают пространственные и временные координаты события, измеренные наблюдателем в каждой системе отсчета. Они заменяют преобразования Галилея ньютоновской физики, которые предполагают абсолютное пространство и время (см. Галилеевскую теорию относительности). Преобразования Галилея являются хорошим приближением только при относительных скоростях, намного меньших скорости света. Преобразования Лоренца обладают рядом неинтуитивных особенностей, которые отсутствуют в преобразованиях Галилея. Например, они отражают тот факт, что наблюдатели, движущиеся с разными скоростями, могут измерять разные расстояния, прошедшее время и даже разный порядок событий, но всегда так, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Инвариантность скорости света является одним из постулатов специальной теории относительности. Исторически, эти преобразования были результатом попыток Лоренца и других объяснить, почему скорость света наблюдается независимой от системы отсчета, и понять симметрии законов электромагнетизма. Позднее эти преобразования стали краеугольным камнем специальной теории относительности. Преобразование Лоренца — это линейное преобразование. Оно может включать вращение пространства; преобразование Лоренца без вращения называется ускорением Лоренца. В пространстве Минковского — математической модели пространства-времени в специальной теории относительности — преобразования Лоренца сохраняют интервал пространства-времени между любыми двумя событиями. Это свойство является определяющим свойством преобразования Лоренца. Они описывают только преобразования, при которых событие пространства-времени в начале координат остается фиксированным. Их можно рассматривать как гиперболическое вращение пространства Минковского. Более общий набор преобразований, который также включает сдвиги (трансляции), известен как группа Пуанкаре.

Frames of reference can be divided into two groups: inertial (relative motion with constant velocity) and non inertial (accelerating, moving in curved paths, rotational motion with constant angular velocity, etc.). The term "Lorentz transformations" only refers to transformations between inertial frames, usually in the context of special relativity. In each reference frame, an observer can use a local coordinate system (usually Cartesian coordinates in this context) to measure lengths, and a clock to measure time intervals. An event is something that happens at a point in space at an instant of time, or more formally a point in spacetime. The transformations connect the space and time coordinates of an event as measured by an observer in each frame. They supersede the Galilean transformation of Newtonian physics, which assumes an absolute space and time (see Galilean relativity). The Galilean transformation is a good approximation only at relative speeds much less than the speed of light. Lorentz transformations have a number of unintuitive features that do not appear in Galilean transformations. For example, they reflect the fact that observers moving at different velocities may measure different distances, elapsed times, and even different orderings of events, but always such that the speed of light is the same in all inertial reference frames. The invariance of light speed is one of the postulates of special relativity. Historically, the transformations were the result of attempts by Lorentz and others to explain how the speed of light was observed to be independent of the reference frame, and to understand the symmetries of the laws of electromagnetism. The transformations later became a cornerstone for special relativity. The Lorentz transformation is a linear transformation. It may include a rotation of space; a rotation free Lorentz transformation is called a Lorentz boost. In Minkowski space—the mathematical model of spacetime in special relativity—the Lorentz transformations preserve the spacetime interval between any two events. This property is the defining property of a Lorentz transformation. They describe only the transformations in which the spacetime event at the origin is left fixed. They can be considered as a hyperbolic rotation of Minkowski space. The more general set of transformations that also includes translations is known as the Poincaré group.

Общие положения

Отношения между координатами пространства-времени с присоединенным и без присоединенного индекса – это преобразования Лоренца, каждая координата в одной системе отсчета является линейной функцией всех координат в другой системе отсчета, а обратные функции соответствуют обратному преобразованию. В зависимости от относительного движения систем отсчета и их взаимной ориентации в пространстве, в уравнения преобразования входят дополнительные параметры, описывающие направление, скорость и ориентацию. Преобразования, описывающие относительное движение с постоянной (равномерной) скоростью и без вращения координатных осей, называются преобразованиями Лоренца, или просто ускорениями, а относительная скорость между системами отсчета является параметром преобразования. Другим основным типом преобразования Лоренца является вращение только в пространственных координатах; подобные ускорения являются инерциальными преобразованиями, поскольку нет относительного движения, системы отсчета просто наклонены (и не вращаются непрерывно), и в этом случае параметры, определяющие вращение (например, представление оси-угла или углов Эйлера и т.п.), являются параметрами преобразования. Комбинация вращения и ускорения – это однородное преобразование, которое переводит начало координат в начало координат. Полная группа Лоренца O(3, 1) также содержит специальные преобразования, которые не являются ни вращениями, ни ускорениями, а представляют собой отражения относительно плоскости, проходящей через начало координат. Два таких преобразования можно выделить: пространственная инверсия, при которой пространственные координаты всех событий меняют знак, и временная инверсия, при которой временная координата каждого события меняет знак. Ускорения не следует смешивать с простыми сдвигами в пространстве-времени; в этом случае системы координат просто смещаются, и относительного движения нет. Однако они также считаются симметриями, обусловленными специальной теорией относительности, поскольку они оставляют интервал пространства-времени инвариантным. Комбинация вращения с ускорением, за которой следует сдвиг в пространстве-времени, является неоднородным преобразованием Лоренца, элементом группы Пуанкаре, которая также называется неоднородной группой Лоренца.

The relations between the primed and unprimed spacetime coordinates are the Lorentz transformations, each coordinate in one frame is a linear function of all the coordinates in the other frame, and the inverse functions are the inverse transformation. Depending on how the frames move relative to each other, and how they are oriented in space relative to each other, other parameters that describe direction, speed, and orientation enter the transformation equations. Transformations describing relative motion with constant (uniform) velocity and without rotation of the space coordinate axes are called Lorentz boosts or simply boosts, and the relative velocity between the frames is the parameter of the transformation. The other basic type of Lorentz transformation is rotation in the spatial coordinates only, these like boosts are inertial transformations since there is no relative motion, the frames are simply tilted (and not continuously rotating), and in this case quantities defining the rotation are the parameters of the transformation (e. g., axis–angle representation, or Euler angles, etc.). A combination of a rotation and boost is a homogeneous transformation, which transforms the origin back to the origin. The full Lorentz group O(3, 1) also contains special transformations that are neither rotations nor boosts, but rather reflections in a plane through the origin. Two of these can be singled out; spatial inversion in which the spatial coordinates of all events are reversed in sign and temporal inversion in which the time coordinate for each event gets its sign reversed. Boosts should not be conflated with mere displacements in spacetime; in this case, the coordinate systems are simply shifted and there is no relative motion. However, these also count as symmetries forced by special relativity since they leave the spacetime interval invariant. A combination of a rotation with a boost, followed by a shift in spacetime, is an inhomogeneous Lorentz transformation, an element of the Poincaré group, which is also called the inhomogeneous Lorentz group.

Математическая формулировка

В тексте курсивные заглавные буквы, не выделенные жирным, обозначают матрицы 4×4, а некурсивные жирные буквы – матрицы 3×3.

Неоднородная группа Лоренца

Две другие пространственно-временные симметрии остались без рассмотрения. Чтобы интервал пространства-времени был инвариантным, можно показать, что необходимо и достаточно, чтобы преобразование координат имело вид

где C — постоянный столбец, содержащий сдвиги во времени и пространстве. Если C ≠ 0, это несобственное преобразование Лоренца, или преобразование Пуанкаре. Если C = 0, это собственное преобразование Лоренца. Преобразования Пуанкаре в данной статье далее не рассматриваются.

Спинеры

Уравнение остаётся неизменным для любого представления группы Лоренца, включая биспинорное представление. В нём достаточно заменить все вхождения Λ на биспинорное представление Π(Λ).

Приведённое выше уравнение, например, может описывать преобразование состояния в пространстве Фока, представляющего два свободных электрона.

Бумаги

См. также: Английский перевод. уравнение (55).