Классикалық механикадан кванттық механикаға өту жолдары

Кіріспе

Классикалық механиканы кванттық механикаға түрлендіру. Бірінші кванттау – классикалық бөлшектер теңдеулерін кванттық толқын теңдеулеріне түрлендіру процедурасы. Екінші кванттаудың қосымша түсінігі классикалық өріс теңдеулерін кванттық өріс теңдеулеріне айналдырады. Дегенмен, мұндай болу міндетті емес. Атап айтқанда, теорияның толық кванттық нұсқасын өзара әрекеттесетін өрістер мен оларға байланысты потенциалдарды көбейту операторлары ретінде қарастыру арқылы жасауға болады, егер потенциал стандартты классикалық механиканың евклидтік координаттарымен үйлесімді канондық координаттарда жазылса. Бірінші кванттау классикалық механика заңдарымен басқарылатын зертханалық құралдармен басқарылатын жеке кванттық жүйені зерттеуге қолайлы (бір ғана бөлшектен тұратын жүйемен шатастырмау керек, себебі бір ғана кванттық толқындық функция жеке кванттық жүйенің күйін сипаттайды, ол кез келген күрделі құрамдас бөліктерден тұруы мүмкін, ал оның эволюциясы бір ғана байланыссыз Шредингер теңдеуімен анықталады), мысалы, ескі үлгідегі вольтметр (қазіргі заманғы жартылай өткізгіш құрылғылары жоқ, кванттық теорияға негізделген, бірақ бұл жеткілікті, бірақ қажет емес), қарапайым термометр, магниттік өріс генераторы және т.б.

Тарих

1901 жылы жарияланған Макс Планк қазіргі уақытта оның атымен аталатын тұрақтының бар екенін және оның мәнін тек Вейннің ығысу заңы, статистикалық механика және электромагниттік теорияны қарастыру арқылы шығарды. Төрт жыл өткен соң, 1905 жылы Альберт Эйнштейн бұл тұрақтыны және фотоэлектрлік эффектіде эмиссияланатын электрондардың тоқтату потенциалымен тығыз байланысын ашып көрсетуге көшті. Фотоэлектрлік эффекттегі энергия жарықтың қарқындылығына (фотон санына) ғана емес, сонымен қатар жарық жиілігіне де тәуелді болды, бұл сол кездегі жаңа құбылыс еді және Эйнштейнге 1921 жылы физика саласындағы Нобель сыйлығын әкелді. Осыдан кейін бұл квантталудың бастапқы кезеңі болды деп қорытындылауға болады, яғни материяның негізгі құрамдас бөліктерге бөлінуі. 1913 жылы, шамамен сегіз жылдан кейін Нильс Бор өзінің әйгілі үш бөлімнен тұратын еңбегін жариялады, онда ол, негізінен постулат бойынша, сутегінің және сутегіге ұқсас металдардың бұрыштық импульсінің квантталуын жобалады. Электронның орбиталық бұрыштық импульсі (валенттілік электроны үшін) түрінде өрнектеледі, мұнда бүтін сан деп есептеледі. Алғашқы ұсынылымда электронның орбиталық бұрыштық импульсі деп аталды, яғни Планк тұрақтысы екі пиге бөлінген , ал кванттық сан немесе Бордың бастапқыда айтқандай, "стационарлық нүктелер арасындағы өтулер санын санау", толық мәліметтер үшін жоғарыдағы сілтемелерге қараңыз. Бұл болжам толығымен дұрыс емес екені кейін көрсетілсе де, ол үлкен мәндері үшін орбиталық бұрыштық импульс операторының (өздік мәні) кванттық санының дұрыс өрнегіне өте жақын болып шықты, және бұл Бордың өзінің болжамының бір бөлігі болды. Бордың болжамының салдарына назар аударып, оны бүгінгі күні белгілі дұрыс нұсқамен салыстырыңыз. Көрініп тұрғанындай, үлкен үшін айырмашылық шамалы, ал үшін эквиваленттілік толық. Тарихи егжей-тегжейге тоқталмай, квантталу тарихының осы кезеңін "ескі кванттық теория" деп қарастыру жеткілікті, яғни физика тарихындағы физикалық эксперименттердің нәтижелерін түсінуде субатомдық бөлшектердің корпускулярлық сипаты маңызды рөл атқара бастаған кезең. Алайда, төменде "бірінші квантталу дәуірі" деп сипатталатыннан айырмашылығы, бұл дәуір Вейннің ығысу заңы, термодинамика, статистикалық механика және электромагниттік теория сияқты классикалық аргументтерге негізделген. Шын мәнінде, сутегінің Балмер сериясын спектроскопия тарихында байқау 1885 жылға дейін жетеді. Дегенмен, бірінші квантталу дәуірін белгілейтін шешуші оқиғалар 1925-1928 жылдар аралығындағы маңызды жылдары орын алды. Бір мезгілде Борн мен Иордан 1925 жылдың желтоқсанында, Дирак та 1925 жылдың желтоқсанында, содан кейін Шрёдингер 1926 жылдың қаңтарында, одан кейін Борн, Гейзенберг және Иордан 1926 жылдың тамызында, соңында Дирак 1928 жылы жариялады. Бұл жарияланымдардың нәтижесінде 3 теориялық формализм пайда болды, олардың 2-сі эквивалентті болып шықты: Борн, Гейзенберг және Иорданның формализмі Шрёдингердің формализміне тең болды, ал Дирактың 1928 жылғы теориясы бұрынғы екеуінің релятивистік нұсқасы ретінде қарастырылды. Соңында, 1929 жылы Хайзенберг пен Паулидің жарияланымын атап өткен жөн, оны "екінші квантталуға" жасалған алғашқы әрекет деп қарастыруға болады, бұл терминді Паули 1943 жылы Американдық физикалық қоғамның жарияланымдарында сөзбе-сөз қолданды. Терминологияның тарихи дамуын түсіну үшін Борн, Гейзенберг және Иорданның 1925-1926 жылдардағы матрицалық механикасының 1926 жылғы Шрёдингердің толқын теңдеуімен теңдігін анықтаған маңызды жарияланыммен аяқтау жеткілікті. Джон фон Нейманның жинақталған және кеңейтілген еңбектері екі теорияның математикалық жағынан тең екенін көрсетті, және осы түсінік бүгінде бірінші квантталу ретінде қарастырылады.

Published in 1901, Max Planck deduced the existence and value of the constant now bearing his name from considering only Wien's displacement law, statistical mechanics, and electromagnetic theory. Four years later in 1905, Albert Einstein went further to elucidate this constant and its deep connection to the stopping potential of electrons emitted in the photoelectric effect. The energy in the photoelectric effect depended not only on the number of incident photons (the intensity of light) but also the frequency of light, a novel phenomena at the time, which would earn Einstein the 1921 Nobel Prize in Physics. It can then be concluded that this was a key onset of quantization, that is the discretization of matter into fundamental constituents. About eight years later Niels Bohr in 1913, published his famous three part series where, essentially by fiat, he posits the quantization of the angular momentum in hydrogen and hydrogen like metals. Where in effect, the orbital angular momentum of the (valence) electron, takes the form , where is presumed a whole number In the original presentation, the orbital angular momentum of the electron was named , the Planck constant divided by two pi as , and the quantum number or "counting of number of passes between stationary points", as stated by Bohr originally as, See references above for more detail. While it would be later shown that this assumption is not entirely correct, it in fact ends up being rather close to the correct expression for the orbital angular momentum operator's (eigenvalue) quantum number for large values of the quantum number , and indeed this was part of Bohr's own assumption. Regard the consequence of Bohr's assumption , and compare it with the correct version known today as Clearly for large , there is little difference, just as well as for , the equivalence is exact. Without going into further historical detail, it suffices to stop here and regard this era of the history of quantization to be the "old quantum theory", meaning a period in the history of physics where the corpuscular nature of subatomic particles began to play an increasingly important role in understanding the results of physical experiments, whose mandatory conclusion was the discretization of key physical observable quantities. However, unlike the era below described as the era of first quantization, this era was based solely on purely classical arguments such as Wien's displacement law, thermodynamics, statistical mechanics, and the electromagnetic theory. In fact, the observation of the Balmer series of hydrogen in the history of spectroscopy dates as far back as 1885. Nonetheless, the watershed events, which would come to denote the era of first quantization, took place in the vital years spanning 1925–1928. Simultaneously the authors Born and Jordan in December 1925, together with Dirac also in December 1925, then Schrodinger in January 1926, following that, Born, Heisenberg and Jordan in August 1926, and finally Dirac in 1928. The results of these publications were 3 theoretical formalisms 2 of which proved to be equivalent, that of Born, Heisenberg and Jordan was equivalent to that of Schrodinger, while Dirac's 1928 theory came to be regarded as the relativistic version of the prior two. Lastly, it is worth mentioning the publication of Heisenberg and Pauli in 1929, which can be regarded as the first attempt at "second quantization", a term used verbatim by Pauli in a 1943 publication of the American Physical Society. For purposes of clarification and understanding of the terminology as it evolved over history, it suffices to end with the major publication that helped recognize the equivalence of the matrix mechanics of Born, Heisenberg, and Jordan 1925–1926 with the wave equation of Schrodinger in 1926. The collected and expanded works of John von Neumann showed that the two theories were mathematically equivalent, and it is this realization that is today understood as first quantization.

Математикалық сапалық алдын ала мәліметтер

Бірінші кванттау терминін түсіну үшін, ең алдымен, бір нәрсенің квантты болу мағынасын түсіну қажет. Ньютонның классикалық теориясы – бұл екінші реттік сызықтық емес дифференциалдық теңдеу, ол массалы жүйенің детерминистік траекториясын анықтайды. Ньютонның екінші қозғалыс заңындағы үдеу, , уақыт функциясы ретінде жүйенің орнының екінші туындысы болып табылады. Сондықтан, Ньютон теңдеуінің кем дегенде екінші реттік дифференциалданатын шешімдерін іздеу табиғи. Кванттық теория, физикалық байқалатын шамаларды, мысалы, жүйенің орнын, осы байқау жасалған уақытты, массаны және байқау сәтіндегі жүйенің жылдамдығын операторлық байқалатын шамалар түсінігімен алмастыру арқылы күрт өзгешеленеді. Операторлар байқалатын шамалар ретінде өлшенетін нәрсенің түсінігін өзгертеді және Макс Борнның ықтималдық теориясының қажетті салдарына әкеледі. Бұл нондетерминизм аясында, жүйені белгілі бір байқалатын күйде табу ықтималдығы, Шрёдингер теңдеуінің шешімінің абсолюттік мәнінің квадраты ретінде анықталатын динамикалық ықтималдық тығыздығымен беріледі. Ықтималдық тығыздықтарының интегралдануы және бірлікке нормалдануы, Шрёдингер теңдеуінің шешімдері квадраттық интегралдануы керек екенін білдіреді. Квадраттарының қосындысы жинақты қатар болатын шексіз тізбектердің векторлық кеңістігі (айтылуы "кішкентай l екі") деп аталады. Ол, квадраттық интегралданатын функциялардың шексіз өлшемді векторлық кеңістігімен, , Евклид кеңістігінен күрделі жазықтыққа дейін, бір-бірге сәйкес келеді. Осы себепті, және жиі "Хилберт кеңістігі" деп аталады. Бұл шатастыруға болады, себебі ол да, егер Евклидтің ішкі көбейтіндісімен жабдықталған және толықтырылған болса, Хилберт кеңістігі болып табылады, бірақ шекті өлшемді кеңістік ретінде.

Жүйелердің түрлері

Ньютон теориясы да, Шрёдингер теориясы да масса параметрін қамтиды және олар массалар жиынтығының немесе жалпы массасы бар бір құрамдас жүйенің, сондай-ақ идеалданған бір бөлшектің және идеалданған бір массалық жүйенің эволюциясын сипаттауға мүмкіндік береді. Әртүрлі жүйелердің мысалдары төменде келтірілген.

Бір бөлшектік жүйелер

Жалпы, бір бөлшектің күйін кванттық сандардың толық жиынтығымен сипаттауға болады, олар арнайы белгіленеді. Мысалы, сутек атомы сияқты кулондық потенциалдағы электронға қатысты үш кванттық сан толық жиынтық құрайды (спинді ескермегенде). Сондықтан, бұл күй деп аталады және Гамильтон операторының өзіндік векторы болып табылады. Кез келген күйдің толқындық функциялық өрнегін алу үшін барлық өзіндік векторларды қолдануға болады. Эрмиттік оператордың барлық өзіндік векторлары толық негіз құрайды, сондықтан кез келген күйді толықтық қатынасын қолдана отырып құрастыруға болады:

Көптеген ғалымдар бөлшектің барлық қасиеттерін осы векторлық негізді пайдаланып білуге болады деп ойлаған. Бұл, Дирактың бра-кет нотациясымен көрсетілгендей, осылай болуы міндетті емес.