Квантование от классической механики к квантовой теории

Введение

Первая квантизация — это процедура преобразования уравнений классической механики частиц в квантовые волновые уравнения. Сопутствующая концепция второй квантизации преобразует классические уравнения полей в квантовые уравнения полей. Однако это не обязательно должно быть так. В частности, полностью квантовая версия теории может быть создана путем интерпретации взаимодействующих полей и связанных с ними потенциалов как операторов умножения, при условии, что потенциал записан в канонических координатах, совместимых с евклидовыми координатами стандартной классической механики. Первая квантизация подходит для изучения одной квантово-механической системы (не следует путать с системой из одной частицы, поскольку одна квантовая волновая функция описывает состояние одной квантовой системы, которая может иметь произвольно много сложных составных частей, а её эволюция описывается единственным не связанным уравнением Шрёдингера), находящейся под контролем лабораторного оборудования, подчиняющегося законам классической механики, например, старомодного вольтметра (не содержащего современных полупроводниковых устройств, основанных на квантовой теории – хотя это и достаточно, но не обязательно), простого термометра, генератора магнитного поля и так далее.

История

Опубликованная в 1901 году, работа Макса Планка, в которой он вывел существование и значение постоянной, носящей его имя, основывалась лишь на законе смещения Вина, статистической механике и электромагнитной теории. Четыре года спустя, в 1905 году, Альберт Эйнштейн пошел дальше, чтобы прояснить эту постоянную и ее глубокую связь с тормозящим потенциалом электронов, испускаемых в фотоэффекте. Энергия в фотоэффекте зависела не только от числа падающих фотонов (интенсивности света), но и от частоты света – новое для того времени явление, за которое Эйнштейн получил Нобелевскую премию по физике в 1921 году. Таким образом, можно заключить, что это стало ключевым началом квантования, то есть дискретизации материи на фундаментальные составляющие. Примерно через восемь лет, в 1913 году, Нильс Бор опубликовал свою знаменитую серию из трех работ, в которых, по сути, постулировал квантование углового момента в водороде и водородоподобных металлах. В первоначальной формулировке орбитальный угловой момент электрона обозначался как , постоянная Планка, деленная на два пи, а квантовое число, или "подсчет числа проходов между стационарными точками", как первоначально утверждал Бор, – см. ссылки выше для получения более подробной информации. Хотя впоследствии было показано, что это предположение не совсем верно, оно оказалось довольно близким к правильному выражению для квантового числа (собственного значения) оператора орбитального углового момента при больших значениях квантового числа , и это действительно было частью исходного предположения Бора. Рассмотрим следствие предположения Бора , и сравним его с современной правильной формулировкой. Очевидно, что при больших значениях , разница невелика, а при – эквивалентность абсолютна. Не вдаваясь в дальнейшие исторические подробности, достаточно остановиться здесь и считать эту эпоху в истории квантования "старой квантовой теорией", то есть период в истории физики, когда корпускулярная природа субатомных частиц начала играть все более важную роль в понимании результатов физических экспериментов, обязательным следствием которых стала дискретизация ключевых физических наблюдаемых величин. Однако, в отличие от эпохи, описываемой ниже как эпоха первого квантования, эта эпоха основывалась исключительно на чисто классических аргументах, таких как закон смещения Вина, термодинамика, статистическая механика и электромагнитная теория. На самом деле, наблюдение серии водорода Балмера в истории спектроскопии датируется еще 1885 годом. Тем не менее, поворотные события, которые должны были определить эпоху первого квантования, произошли в важнейшие годы с 1925 по 1928 год. Авторы Борн и Иордан в декабре 1925 года, совместно с Дираком также в декабре 1925 года, затем Шрёдингер в январе 1926 года, после этого Борн, Гейзенберг и Иордан в августе 1926 года и, наконец, Дирак в 1928 году опубликовали свои работы. Результатом этих публикаций стали 3 теоретических формализма, 2 из которых оказались эквивалентными: формализм Борна, Гейзенберга и Иордана был эквивалентен формализму Шрёдингера, а теория Дирака 1928 года стала рассматриваться как релятивистская версия двух предыдущих. Наконец, стоит упомянуть публикацию Гейзенберга и Паули в 1929 году, которую можно рассматривать как первую попытку "второго квантования" – термин, использованный буквально Паули в публикации Американского физического общества 1943 года. Для прояснения и понимания эволюции терминологии достаточно остановиться на основной публикации, которая помогла установить эквивалентность матричной механики Борна, Гейзенберга и Иордана (1925–1926) и волнового уравнения Шрёдингера (1926). Объединенные и расширенные работы Джона фон Неймана показали, что обе теории математически эквивалентны, и именно это понимание сегодня принято как первое квантование.

Published in 1901, Max Planck deduced the existence and value of the constant now bearing his name from considering only Wien's displacement law, statistical mechanics, and electromagnetic theory. Four years later in 1905, Albert Einstein went further to elucidate this constant and its deep connection to the stopping potential of electrons emitted in the photoelectric effect. The energy in the photoelectric effect depended not only on the number of incident photons (the intensity of light) but also the frequency of light, a novel phenomena at the time, which would earn Einstein the 1921 Nobel Prize in Physics. It can then be concluded that this was a key onset of quantization, that is the discretization of matter into fundamental constituents. About eight years later Niels Bohr in 1913, published his famous three part series where, essentially by fiat, he posits the quantization of the angular momentum in hydrogen and hydrogen like metals. Where in effect, the orbital angular momentum of the (valence) electron, takes the form , where is presumed a whole number In the original presentation, the orbital angular momentum of the electron was named , the Planck constant divided by two pi as , and the quantum number or "counting of number of passes between stationary points", as stated by Bohr originally as, See references above for more detail. While it would be later shown that this assumption is not entirely correct, it in fact ends up being rather close to the correct expression for the orbital angular momentum operator's (eigenvalue) quantum number for large values of the quantum number , and indeed this was part of Bohr's own assumption. Regard the consequence of Bohr's assumption , and compare it with the correct version known today as Clearly for large , there is little difference, just as well as for , the equivalence is exact. Without going into further historical detail, it suffices to stop here and regard this era of the history of quantization to be the "old quantum theory", meaning a period in the history of physics where the corpuscular nature of subatomic particles began to play an increasingly important role in understanding the results of physical experiments, whose mandatory conclusion was the discretization of key physical observable quantities. However, unlike the era below described as the era of first quantization, this era was based solely on purely classical arguments such as Wien's displacement law, thermodynamics, statistical mechanics, and the electromagnetic theory. In fact, the observation of the Balmer series of hydrogen in the history of spectroscopy dates as far back as 1885. Nonetheless, the watershed events, which would come to denote the era of first quantization, took place in the vital years spanning 1925–1928. Simultaneously the authors Born and Jordan in December 1925, together with Dirac also in December 1925, then Schrodinger in January 1926, following that, Born, Heisenberg and Jordan in August 1926, and finally Dirac in 1928. The results of these publications were 3 theoretical formalisms 2 of which proved to be equivalent, that of Born, Heisenberg and Jordan was equivalent to that of Schrodinger, while Dirac's 1928 theory came to be regarded as the relativistic version of the prior two. Lastly, it is worth mentioning the publication of Heisenberg and Pauli in 1929, which can be regarded as the first attempt at "second quantization", a term used verbatim by Pauli in a 1943 publication of the American Physical Society. For purposes of clarification and understanding of the terminology as it evolved over history, it suffices to end with the major publication that helped recognize the equivalence of the matrix mechanics of Born, Heisenberg, and Jordan 1925–1926 with the wave equation of Schrodinger in 1926. The collected and expanded works of John von Neumann showed that the two theories were mathematically equivalent, and it is this realization that is today understood as first quantization.

Качественные математические предварительные

Чтобы понять термин «первая квантизация», необходимо сначала понять, что значит вообще быть квантовым. Классическая теория Ньютона — это нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, которое описывает детерминированную траекторию системы с массой. Ускорение, , во втором законе Ньютона, , является второй производной положения системы по времени. Поэтому естественно искать решения уравнения Ньютона, дифференцируемые по крайней мере дважды. Квантовая теория кардинально отличается тем, что заменяет физические величины, такие как положение системы, время измерения, масса и скорость системы в момент измерения, понятием операторных наблюдаемых. Операторы, выступающие в роли наблюдаемых, меняют само понятие измеримости и приводят к неизбежному выводу теории вероятностей Макса Борна. В этой недетерминированной системе вероятность обнаружения системы в определенном наблюдаемом состоянии задается динамической плотностью вероятности, определяемой как квадрат модуля решения уравнения Шрёдингера. Тот факт, что плотности вероятности интегрируемы и нормализуемы к единице, подразумевает, что решения уравнения Шрёдингера должны быть квадратично интегрируемыми. Векторное пространство бесконечных последовательностей, сумма квадратов элементов которых является сходящимся рядом, известно как (произносится «маленькое эль два»). Оно находится во взаимно однозначном соответствии с бесконечномерным векторным пространством квадратично интегрируемых функций, , отображающих евклидово пространство в комплексную плоскость. По этой причине и часто без различия называют «пространством Гильберта». Это несколько вводит в заблуждение, поскольку также является пространством Гильберта, если оно снабжено и дополнено до полноты евклидовым скалярным произведением, хотя и является пространством конечной размерности.

Типы систем

И теория Ньютона, и теория Шрёдингера включают параметр массы, и поэтому могут описывать эволюцию совокупности масс или единой составной системы с общей массой, а также идеализированной одиночной частицы, рассматриваемой как система с единственной идеализированной массой. Ниже приведены примеры различных типов систем.

Системы с одной частицей

В общем, состояние одной частицы может быть описано полным набором квантовых чисел, обозначаемых |n, l, m⟩. Например, три квантовых числа, связанные с электроном в кулоновском потенциале, как в атоме водорода, образуют полный набор (не учитывая спин). Следовательно, состояние называется |n, l, m⟩ и является собственным вектором гамильтониана. Можно получить волновой функции, соответствующей этому состоянию, используя оператор проекции. Все собственные векторы эрмитова оператора образуют полный базис, поэтому любое состояние |ψ⟩ можно представить в виде линейной комбинации этих базисных состояний, что приводит к соотношению полноты:

Многие полагали, что все свойства частицы можно определить, используя этот векторный базис, который здесь выражен с помощью нотации Дирака. Однако это не всегда так.