Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Реттелген жиындардың изоморфизм түрі
Isomorphism type of ordered sets
Математикада, әсіресе жиын теориясында, егер X және Y екі реттелген жиын рет изоморфты болса, олардың рет түрі бірдей деп айтылады, яғни егер биекция болса (әр элемент екінші жиындағы дәл бір элементке сәйкес келеді) және f функциясы мен оның кері функциясы монотонды болып (элементтердің ретін сақтайтын) келсе. Егер X толық реттелген болса, f функциясының монотондылығы оның кері функциясының да монотонды екенін білдіреді. Бір жиын әртүрлі реттермен жабдылуы мүмкін. Реттік эквиваленттік – эквиваленттік қатынас болғандықтан, ол барлық реттелген жиындар класын эквиваленттік кластарға бөледі.
In mathematics, especially in set theory, two ordered sets X and Y are said to have the same order type if they are order isomorphic, that is, if there exists a bijection (each element pairs with exactly one in the other set) such that both f and its inverse are monotonic (preserving orders of elements). In the special case when X is totally ordered, monotonicity of f already implies monotonicity of its inverse. One and the same set may be equipped with different orders. Since order equivalence is an equivalence relation, it partitions the class of all ordered sets into equivalence classes.
Нөмірлік
Егер жиынның рет түрі деп белгіленсе, кері реттің рет түрі , деп белгіленеді. Жақсы реттелген жиынның рет түрі кейде ord(X) арқылы көрсетіледі.
If a set has order type denoted , the order type of the reversed order, the dual of , is denoted
The order type of a well ordered set X is sometimes expressed as ord(X).
Мысалдар
Бүкіл сандар мен рационалдардың рет түрі әдетте және , сәйкесінше, деп белгіленеді. Бүкіл сандар жиыны мен жұп бүтін сандар жиынының реттері бірдей, себебі картографиясы ретті сақтайтын биекция болып табылады. Алайда, бүкіл сандар жиыны мен рационал сандар жиыны (стандартты реттеме бойынша) бірдей рет түріне ие емес, өйткені жиындардың өлшемдері бірдей болса да (олар екеуі де санауға шексіз), олардың арасында ретті сақтайтын биекцияны табу мүмкін емес. Рационалдардың ашық аралығы (0, 1) рационалдарға рет бойынша изоморфты, мысалы, бұл аралықтан екіншісіне қатаң өсетін биекция болып табылады. Осы сияқты маңызды теоремалар төменде кеңінен қарастырылады. Қазір тағы мысалдар келтіруге болады: оң бүтін сандар жиыны (ең кіші элементі бар) және теріс бүтін сандар жиыны (ең үлкен элементі бар). Натурал сандардың рет түрі ω деп белгіленеді, бұл төменде түсіндіріледі. [0,1) және (0,1] жартылай жабық аралықтарында, сондай-ақ [0,1] жабық аралығында орналасқан рационалдар – үш қосымша рет түрінің мысалы.
The order type of the integers and rationals is usually denoted and , respectively. The set of integers and the set of even integers have the same order type, because the mapping is a bijection that preserves the order. But the set of integers and the set of rational numbers (with the standard ordering) do not have the same order type, because even though the sets are of the same size (they are both countably infinite), there is no order preserving bijective mapping between them. The open interval (0, 1) of rationals is order isomorphic to the rationals, since, for example, is a strictly increasing bijection from the former to the latter. Relevant theorems of this sort are expanded upon below. More examples can be given now: The set of positive integers (which has a least element), and that of negative integers (which has a greatest element). The natural numbers have order type denoted by ω, as explained below. The rationals contained in the half closed intervals [0,1) and (0,1], and the closed interval [0,1], are three additional order type examples.
Ұңғымалық тапсырыстардың түрі
Әрбір жақсы реттелген жиын, анықтама бойынша, дәл бір реттік санға рет бойынша эквивалентті. Реттік сандар өз сыныптарының каноникалық өкілдері ретінде қабылданады, сондықтан жақсы реттелген жиынның рет түрі әдетте сәйкес реттік санмен теңестіріледі. Рет түрлері осылайша көбінесе реттік сандардың арифметикалық өрнектері түрінде болады.
Every well ordered set is order equivalent to exactly one ordinal number, by definition. The ordinal numbers are taken to be the canonical representatives of their classes, and so the order type of a well ordered set is usually identified with the corresponding ordinal. Order types thus often take the form of arithmetic expressions of ordinals.
Рационалды сандар
Сандар ретіндегі стандартты ретіне келтесек, рационалдар жиыны жақсы реттелмеген. Нақты сандардың толық жиыны да солай. Кез келген санаулы, толық реттелген жиынтықты рационал сандарға реттілікті сақтайтын инъективті түрде бейнелеуге болады. Егер рет тығыз болса және ең жоғарғы немесе ең төменгі элементі болмаса, онда мұндай бейнелеу биективті болады.
With respect to their standard ordering as numbers, the set of rationals is not well ordered. Neither is the completed set of reals, for that matter. Any countable totally ordered set can be mapped injectively into the rational numbers in an order preserving way. When the order is moreover dense and has no highest nor lowest element, there even exist a bijective such mapping.