Введение

Изоморфизм типов упорядоченных множеств

В математике, особенно в теории множеств, два упорядоченных множества X и Y называются имеющими один и тот же тип упорядочения, если они упорядоченно изоморфны, то есть, если существует биекция (каждый элемент сопоставляется ровно с одним элементом в другом множестве) такая, что функции f и ее обратная функция монотонны (сохраняют порядок элементов). В частном случае, когда X вполне упорядочен, монотонность f уже влечет монотонность ее обратной функции. Одно и то же множество может быть снабжено различными упорядочениями. Поскольку упорядоченная эквивалентность является отношением эквивалентности, она разбивает класс всех упорядоченных множеств на классы эквивалентности.

Обозначение

Если у множества есть тип упорядочения, обозначаемый , то тип упорядочения обратного порядка, двойственный к , обозначается . Тип упорядочения хорошо упорядоченного множества X иногда выражается как ord(X).

Примеры

Тип порядка целых и рациональных чисел обычно обозначается и , соответственно. Множество целых чисел и множество четных целых чисел имеют одинаковый тип порядка, поскольку отображение является биекцией, сохраняющей порядок. Однако множество целых чисел и множество рациональных чисел (с обычным порядком) не имеют одинакового типа порядка, потому что, хотя множества имеют одинаковую мощность (оба счетно бесконечны), не существует биекции, сохраняющей порядок, между ними. Открытый интервал (0, 1) рациональных чисел ординарно изоморфен множеству рациональных чисел, поскольку, например, является строго возрастающей биекцией из первого во второе. Соответствующие теоремы этого типа рассматриваются ниже. Можно привести еще примеры: множество положительных целых чисел (имеющее наименьший элемент) и множество отрицательных целых чисел (имеющее наибольший элемент). Натуральные числа имеют тип порядка, обозначаемый ω, как объясняется ниже. Рациональные числа, содержащиеся в полуоткрытых интервалах [0,1) и (0,1], и в замкнутом интервале [0,1], являются тремя дополнительными примерами типов порядка.

Тип заказа скважин

Каждое вполне упорядоченное множество по определению ординально эквивалентно ровно одному ординальному числу. Ординальные числа принимаются за канонические представители своих классов, и поэтому тип порядка вполне упорядоченного множества обычно отождествляется с соответствующим ординалом. Типы порядка таким образом часто представляются в виде арифметических выражений, содержащих ординалы.

Рациональные числа

С учетом их стандартного упорядочения как чисел, множество рациональных чисел не является вполне упорядоченным. То же самое справедливо и для полного множества действительных чисел. Любое счетное линейно упорядоченное множество можно инъективно отобразить в множество рациональных чисел с сохранением порядка. Если порядок при этом плотен и не имеет наибольшего и наименьшего элементов, то существует даже биективное такое отображение.