Кіріспе
Шексіз жиын – бұл шекті жиын емес жиын. Жиын теориясында шексіз жиын саналатын немесе саналмайтын болуы мүмкін. Аксиомалар бойынша шексіз болуы тікелей талап етілетін жалғыз жиын осы. Кез келген басқа шексіз жиынның бар екендігі Зермело-Франкель жиын теориясында (ZFC) дәлелденуі мүмкін, бірақ тек табиғи сандардың бар екендігін көрсету арқылы. Жиын шексіз болады, егер және тек қана егер әрбір табиғи сан үшін сол табиғи санның кардиналдылығына ие кіші жиынға ие болса. Егер таңдау аксиомасы орындалса, онда жиын саналатын шексіз кіші жиынды қамтитын болса ғана шексіз болады. Егер жиындар жиыны шексіз болса немесе шексіз элементтерді қамтитын болса, онда оның біріктірілісі шексіз болады. Шексіз жиынның қуаты жиыны шексіз. Егер таңдау аксиомасы да дұрыс болса, онда шексіз жиындар Дедекинд шексіз жиындарымен сәйкес келеді. Егер шексіз жиын жақсы реттелген жиын болса, онда оның изоморфты емес көптеген жақсы реттелулері болады.
In set theory, an infinite set is a set that is not a finite set. Infinite sets may be countable or uncountable. It is the only set that is directly required by the axioms to be infinite. The existence of any other infinite set can be proved in Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), but only by showing that it follows from the existence of the natural numbers. A set is infinite if and only if for every natural number, the set has a subset whose cardinality is that natural number. If the axiom of choice holds, then a set is infinite if and only if it includes a countable infinite subset. If a set of sets is infinite or contains an infinite element, then its union is infinite. The power set of an infinite set is infinite. If the axiom of choice is also true, then infinite sets are precisely the Dedekind infinite sets. If an infinite set is a well orderable set, then it has many well orderings which are non isomorphic.
Тарих
Дэвид Бертонның "Математика тарихы: кіріспе" атты кітабында талқыланған маңызды идеяларға жиынның "элементтерін" немесе бөліктерін қалай анықтау, жиын ішіндегі бірегей элементтерді қалай анықтау және шексіздікті қалай дәлелдеу жатады. Бертон сондай-ақ саналатын және саналмайтын жиындарды қоса алғанда, шексіздіктің әртүрлі түрлеріне қатысты дәлелдемелерді де талқылайды. Бертон мен Роджерс екеуі де шексіз жиындарды түсіндіру үшін, мысалы, бейнелеу, индукция арқылы дәлелдеу немесе қарама-қайшылық арқылы дәлелдеу сияқты дәлелдеу концепцияларын пайдаланып, шекті жиындардан бастайды. Бертон сонымен қатар біріктірулер мен кіші жиындар сияқты идеяларды қамтитын шексіз жиындардың дәлелдемелерін де талқылайды.
Санауға болатын шексіз жиындар
Барлық бүтін сандардың жиыны {..., -1, 0, 1, 2,...} – саналатын шексіз жиын. Барлық жұп бүтін сандардың жиыны да саналатын шексіз жиын, тіпті ол бүтін сандардың нақты қосалқы жиыны болса да. Барлық рационалды сандар жиыны да саналатын шексіз жиын, себебі бүтін сандар жиынымен бір-бірге сәйкестік бар.
Сансыз шексіз жиындар
Барлық нақты сандар жиыны санаусыз шексіз жиын. Барлық иррационалды сандар жиыны да санаусыз шексіз жиын болып табылады.