Введение
Множество, которое не является конечным множеством.
В теории множеств бесконечное множество — это множество, которое не является конечным. Бесконечные множества могут быть счётными или несчётными. Это единственное множество, существование которого непосредственно постулируется аксиомами. Существование любого другого бесконечного множества может быть доказано в теории множеств Цермело — Френкеля (ZFC), но лишь путем демонстрации его вытекания из существования натуральных чисел. Множество бесконечно тогда и только тогда, когда для любого натурального числа существует его подмножество с такой же кардинальностью. Если выполняется аксиома выбора, то множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно содержит счётное бесконечное подмножество. Если семейство множеств бесконечно или содержит бесконечное множество, то его объединение бесконечно. Множество всех подмножеств бесконечного множества бесконечно. Если также выполняется аксиома выбора, то бесконечные множества совпадают с дедекиндовски бесконечными множествами. Если бесконечное множество вполне упорядочено, то оно имеет множество неизоморфных вполне упорядочений.
История
Важные идеи, обсуждаемые Дэвидом Бертоном в его книге «История математики: введение», включают способы определения «элементов» или частей множества, определения уникальных элементов в множестве и доказательства бесконечности. Бертон также рассматривает доказательства различных видов бесконечности, включая счетные и несчетные множества. Как Бертон, так и Роджерс используют конечные множества для начального объяснения бесконечных множеств, применяя методы доказательства, такие как отображение, математическая индукция или доказательство от противного. Бертон также обсуждает доказательства, связанные с бесконечными множествами, включая понятия объединений и подмножеств.
Бесчисленные множества
Множество всех целых чисел {..., -1, 0, 1, 2, ...} является счётным бесконечным множеством. Множество всех чётных целых чисел также является счётным бесконечным множеством, даже если оно является собственным подмножеством целых чисел. Множество всех рациональных чисел является счётным бесконечным множеством, поскольку существует биекция с множеством целых чисел.
Бесчисленные бесконечные множества
Множество всех действительных чисел — несчетно бесконечное множество. Множество всех иррациональных чисел также является несчетно бесконечным множеством.