Кіріспе
Топологияда және математиканың басқа да салаларында, реттілік кеңістік – топологиялық кеңістік, оның топологиясы оның жуысатын/жайраған тізбектері арқылы толық сипатталады. Оларды өте әлсіз санау аксиомасын қанағаттандыратын кеңістіктер деп қарастыруға болады, ал барлық бірінші санаулы кеңістіктер (әсіресе метрикалық кеңістіктер) – реттілік кеңістіктер. Кез келген топологиялық кеңістікте, егер жуысатын тізбек жабық жиынға кірсе, онда сол тізбектің лимиті де сол жиынға кіруі керек. Мұндай қасиетке ие жиындар ретті түрде жабық деп аталады. Реттік кеңістіктер – бұл ретті түрде жабық жиындардың нақты жабық болатын топологиялық кеңістіктер. (Бұл анықтамаларды ретті түрде ашық жиындар тұрғысынан да қарастыруға болады; төмендегіге қараңыз.) Басқаша айтқанда, кез келген топологияны торлар (Мур-Смит тізбектері деп те аталады) арқылы сипаттауға болады, бірақ бұл тізбектер (өте үлкен ординалмен индексиленген) тізбекке сыймай, тым ұзын болуы мүмкін. Реттік кеңістіктер – бұл топологиялық кеңістіктер, оларда топологияны сипаттау үшін саналатын ұзындығы бар торлар (яғни тізбектер) жеткілікті. Кез келген топологияны реттік топологияға дейін жетілдіруге болады, ол реттік ядролық бейнелеу деп аталады. Фрешет-Урисон кеңістіктері, T реттік кеңістіктері және реттік кеңістіктер кеңістіктің топологиясы тізбектермен қалай өзара әрекеттесетініне қарай анықталады, бірақ олардың қасиеттері сәл өзгеше. Реттік кеңістіктер мен реттік кеңістіктерді С. П. Франклин енгізген. Жиын, егер оның толықтығы ретті түрде жабық болса, ретті түрде ашық деп анықталады. Баламалы шарттар: немесе Барлық және үшін, соңында (яғни, тізбектің соңында ) бар. Жиын – егер ол өзінің реттік ішкі бөлігін қамтыса, нүктенің реттік маңызы; реттік маңыздар ретті түрде ашық болуы міндетті емес (төменде қараңыз). Кез келген жиынның ішкі жиыны ретті түрде ашық, бірақ ашық емес болуы мүмкін. Сол сияқты, жабық емес ретті жабық жиынның болуы да мүмкін.
In topology and related fields of mathematics, a sequential space is a topological space whose topology can be completely characterized by its convergent/divergent sequences. They can be thought of as spaces that satisfy a very weak axiom of countability, and all first countable spaces (especially metric spaces) are sequential. In any topological space if a convergent sequence is contained in a closed set then the limit of that sequence must be contained in as well. Sets with this property are known as sequentially closed. Sequential spaces are precisely those topological spaces for which sequentially closed sets are in fact closed. (These definitions can also be rephrased in terms of sequentially open sets; see below.) Said differently, any topology can be described in terms of nets (also known as Moore–Smith sequences), but those sequences may be "too long" (indexed by too large an ordinal) to compress into a sequence. Sequential spaces are those topological spaces for which nets of countable length (i. e., sequences) suffice to describe the topology. Any topology can be refined (that is, made finer) to a sequential topology, called the sequential coreflection of
The related concepts of Fréchet–Urysohn spaces, T sequential spaces, and sequential spaces are also defined in terms of how a space's topology interacts with sequences, but have subtly different properties. Sequential spaces and sequential spaces were introduced by S. P. Franklin. A set is defined to be sequentially open if its complement is sequentially closed. Equivalent conditions include:
or
For all and such that eventually is in (that is, there exists some integer such that the tail ). A set is a sequential neighborhood of a point if it contains in its sequential interior; sequential neighborhoods need not be sequentially open (see below). It is possible for a subset of to be sequentially open but not open. Similarly, it is possible for there to exist a sequentially closed subset that is not closed.
Сүрлеу кеңістіктері мен өзекті рефлексия
Жоғарыда талқыланғандай, реттік жабылу, әдетте, теңпотентті емес, сондықтан топологияның жабылу операторы бола алмайды. Трансфиниттік итерация арқылы теңпотентті реттік жабылуға қол жеткізуге болады: жалғастырушы ординал үшін (әдеттегідей) анықталады, ал лимит ординал үшін анықталады. Бұл процесс жиынтардың өсуімен жүретін реттілігін тудырады; көрініп тұрғандай, бұл реттілік әрқашан (алғашқы санауға келмейтін ординал) индексінде тұрақтанады. Керісінше, -ның реттік саны – жоғарыда көрсетілген реттіліктің кез келген таңдауы үшін тұрақтанатын ең кішкентай ординал. -ның трансфиниттік реттік жабылуы – жоғарыдағы тізбектегі соңғы жиын: Оператор теңпотентті және, демек, жабылу операторы. Атап айтқанда, ол топологияны, яғни реттік ядролық рефлексияны анықтайды. Реттік ядролық рефлексияда кез келген реттік жабық жиын жабық (және кез келген реттік ашық жиын ашық) болады.
Фреше-Урисон емес, бірақ бірізді кеңістік
Шварц кеңістігі және таралымдар туралы мақалада талқыланған тегіс функциялар кеңістігі, екеуі де жиі қолданылатын реттік кеңістіктер, бірақ Фреше-Урисон кеңістіктері емес. Шындығында, осы екі кеңістіктің күшті дуалдық кеңістіктері де Фреше-Урисон кеңістіктері емес. Көбінесе, кез келген шексіз өлшемді Монтель DF кеңістігі реттік, бірақ Фреше-Урисон кеңістігі емес. Аренс кеңістігі реттік, бірақ Фреше-Урисон кеңістігі емес.
Үлгі емес (бірінен соң бірі жалғаспайтын бос орындар)
Кезекті емес ең қарапайым кеңістік – санауға болатын жиынның косануға болатын топологиясы. Мұндай кеңістіктегі әрбір жинақталатын тізбек ақырында тұрақты болады; демек, әрбір жиын кезекті түрде ашық. Бірақ косануға болатын топология дискретті емес. (Бұл топологияны «тізбектік дискретті» деп атауға болады.) Тегіс сынақ функциялары кеңістігін оның канондық топологиясымен белгілейік және таралымдар кеңістігін , оның күшті жалқы кеңістігі ретінде белгілейік; екеуі де кезекті емес (тіпті Асколи кеңістігі де емес). Кез келген Монтель кеңістігінің жалқы кеңістігінде, үздіксіз сызықтық функционалдар тізбегі күшті жалқы топологияда жинақталса және тек қана әлсіз* топологияда (яғни, нүкте бойынша) жинақталса ғана жинақталады.
Кез келген кезекті кеңістік тығыздықпен туындайды, ал Seq-дегі шекті көбейтінділер тығыздықпен туындайтын кеңістіктердегідей болады, себебі тығыздықпен туындайтын кеңістіктер санатындағы көбейтінділер метрикалық кеңістіктердің бөліктерін сақтайды.