Введение

Топологическое пространство, характеризуемое последовательностями. В топологии и смежных областях математики последовательное пространство — это топологическое пространство, топология которого может быть полностью охарактеризована его сходящимися и расходящимися последовательностями. Их можно рассматривать как пространства, удовлетворяющие очень слабому аксиоме счётности, и все первое счётные пространства (особенно метрические пространства) являются последовательными. В любом топологическом пространстве, если сходящаяся последовательность содержится в замкнутом множестве, то предел этой последовательности также должен содержаться в этом замкнутом множестве. Множество, обладающее таким свойством, называется последовательно замкнутым. Последовательные пространства — это те топологические пространства, для которых последовательно замкнутые множества фактически замкнуты. (Эти определения также могут быть переформулированы в терминах последовательно открытых множеств; см. ниже.) Иными словами, любая топология может быть описана в терминах сетей (также известных как последовательности Мура — Смита), но эти сети могут быть «слишком длинными» (индексированными слишком большим порядковым числом), чтобы их можно было сжать до последовательности. Последовательные пространства — это те топологические пространства, для которых сетей счётной длины (то есть последовательностей) достаточно для описания топологии. Любую топологию можно уточнить (то есть сделать более тонкой) до последовательной топологии, называемой последовательным корефлексом. Связанные понятия пространств Фреше — Урысона, T-последовательных пространств и последовательных пространств также определяются с точки зрения того, как топология пространства взаимодействует с последовательностями, но обладают несколько отличающимися свойствами. Последовательные пространства и последовательные пространства были введены С. П. Франклином. Множество определяется как последовательно открытое, если его дополнение последовательно замкнуто. Эквивалентные условия включают: или для всех и таких, что начиная с некоторого момента находится в (то есть, существует целое число такое, что хвост последовательности принадлежит ). Множество является последовательной окрестностью точки , если оно содержит в своём последовательном интерьере; последовательные окрестности не обязаны быть последовательно открытыми (см. ниже). Возможно, чтобы подмножество было последовательно открытым, но не открытым. Аналогично, возможно существование последовательно замкнутого подмножества, которое не является замкнутым.

Последовательные пространства и коррефлексия

Как обсуждалось выше, последовательное замыкание в общем случае не является идемпотентным и, следовательно, не является оператором замыкания топологии. Идемпотентное последовательное замыкание можно получить с помощью трансфинитной итерации: для ординала-последователя определяем (как обычно), а для ординала-предела определяем. Этот процесс дает ординально-индексированную возрастающую последовательность множеств; как оказывается, эта последовательность всегда стабилизируется к ординалу ω₁ (первому несчетному ординалу). Обратно, последовательный порядок множества X – это минимальный ординал, при котором для любого выбора из вышеуказанной последовательности стабилизация наступает. Трансфинитное последовательное замыкание множества X – это терминальное множество в вышеуказанной последовательности: . Оператор является идемпотентным и, следовательно, оператором замыкания. В частности, он определяет топологию, называемую последовательной коррефлексией. В последовательной коррефлексии каждое последовательно замкнутое множество замкнуто (и каждое последовательно открытое множество открыто).

Пространства, которые являются последовательными, но не Fréchet-Urysohn

Пространство Шварца и пространство гладких функций, как обсуждалось в статье о распределениях, являются широко используемыми последовательными пространствами, но не являются пространствами Фреше – Урысона. Действительно, сильные двойственные пространства обоих этих пространств также не являются пространствами Фреше – Урысона. В более общем случае, каждое бесконечномерное пространство Монтеля DF является последовательным, но не Фреше – Урысона. Пространство Аренса является последовательным, но не Фреше – Урысона.

Непримеры (пространства, которые не являются последовательными)

Простейшее пространство, которое не является последовательным, — это некоторое счётное топологическое пространство на неисчислимом множестве. Каждая сходящаяся последовательность в таком пространстве в конечном итоге становится постоянной; следовательно, каждое множество является последовательно открытым. Однако некоторое счётное топологическое пространство не является дискретным. (Такую топологию можно назвать "последовательно дискретной".) Пусть обозначает пространство гладких пробных функций с его канонической топологией, а — пространство обобщённых функций, сильное двойственное пространство ; ни одно из них не является последовательным (даже не является пространством Асколи). И в двойственном пространстве любого пространства Монтеля последовательность непрерывных линейных функционалов сходится в сильной двойственной топологии тогда и только тогда, когда она сходится в слабой* топологии (то есть поточечно).

Каждое последовательное пространство компактно порождено, и конечные произведения в Seq совпадают с произведениями для компактно порожденных пространств, поскольку произведения в категории компактно порожденных пространств сохраняют фактор-пространства метрических пространств.