Кіріспе

Математикадағы гармониялық талдауда, шектелген орташа тербелісті функция, сондай-ақ BMO функциясы деп аталады, – бұл орташа тербелісі шектелген (соңы шекті) нақты мәнді функция. Шектелген орташа тербелісті функциялар кеңістігі (BMO) – бұл Харди кеңістіктерінің теориясындағы Hp кеңістігінің, ал Lp кеңістіктерінің теориясындағы негізінен шектелген функциялардың L∞ кеңістігінің атқаратын рөлімен салыстырылатын функция кеңістігі. Ол Фриц Джон мен Луис Ниренбергтің есімдерімен аталған Джон-Ниренберг кеңістігі деп те аталады, олар оны алғаш рет енгізіп, зерттеген.

Тарихи мәлімет

, бойынша шектелген орташа тербелістің функциялары кеңістігі алғаш рет енгізілді , Rn-ге жататын шектелген жиын Ω-дан Rn-ге бейнелеулерді зерттеумен және эластикалық теориядан туындайтын сәйкес мәселелермен, атап айтқанда, эластикалық деформация ұғымымен байланысты. Негізгі нотация осыған жақын жарияланған мақалада енгізілді , онда осы функциялық кеңістіктердің бірнеше қасиеттері дәлелденді. Теорияны дамытудағы келесі маңызды қадам - Чарльз Фефферманның BMO және H1 Харди кеңістігі арасындағы дуалдықты дәлелдеуі болды: осы нәтижеге конструктивті дәлелдеме, жаңа әдістерді енгізу және теорияны одан әрі дамытуды бастау Акихито Учияма жасады.

Нөмірлік

Кез келген домендегі BMO функциялары жиыны үшін қабылданған жалпы белгілеу BMO(Ω) болып табылады: егер Ω = Rn болса, BMO(Rn) жай ғана BMO деп белгіленеді. Берілген BMO функциясы u-дың BMO нормасы ||u||BMO деп белгіленеді: кейбір жағдайларда, ол ||u||∗ деп те белгіленеді.

BMO функциялары жергілікті интеграцияланады

BMO функциялары 0 < p < ∞ болғанда жергілікті Lp функциялары болып табылады, бірақ жергілікті шектеулі болуы міндетті емес. Шындығында, Джон-Ниренберг теңсіздігін қолдана отырып, мынаны дәлелдеуге болады.

BMO - Банах кеңістігі

Тұрақты функциялардың орташа тербелісі нөлге тең, сондықтан c > 0 тұрақтысымен ерекшеленетін функциялар, олардың айырмасы дерлік барлық жерде нөл болмаса да, бірдей BMO нормасына ие болуы мүмкін. Сондықтан ||u||BMO функциясы, қарастырылып отырған домендегі тұрақты функциялар кеңістігіне қатысты BMO функцияларының фактор кеңістігіндегі нақты норма болып табылады.

Жақын орналасқан кубтардың орташалары салыстырмалы

Атауынан көрініп тұрғандай, BMO-дағы функцияның орташа мәні немесе орташасы, оны бір-біріне жақын орналасқан және масштабтары ұқсас кубтар бойынша есептегенде, көп өзгермейді. Нақтырақ айтқанда, егер Q және R – шекаралары жанасқан диадтық кубтар болса және Q-ның қабырғасының ұзындығы R-дің қабырғасының ұзындығының кемінде жартысына тең болса (және керісінше), онда

мұндағы C > 0 – бір әмбебап тұрақты сан. Бұл қасиет, іс жүзінде, f функциясы BMO-да болумен эквивалентті, яғни егер f – жергілікті интегралданатын функция болса және барлық Q және R диадтық кубтары үшін, жоғарыда сипатталғандай жапсарлас болғанда |fR−fQ| ≤ C орындалса, және f диадтық BMO-да болса (мұндағы супремум тек Q диадтық кубтары бойынша алынады), онда f BMO-да болады.

BMO - H1 -дің қос векторлық кеңістігі

BMO кеңістігінің H1 Харди кеңістігіне (p = 1) дуалды екенін көрсетті. f ∈ H1 және g ∈ BMO арасындағы жұптасу келесідей беріледі:

бірақ бұл интегралды анықтауда сақтық қажет, өйткені ол әдетте абсолютті түрде жиналмайды.

Джон-Ниренберг теңсіздігі

Джон-Ниренберг теңсіздігі – шектелген орташа тербелісті функцияның орташа мәнінен қаншалықты дейін ауытқуға болатынын анықтайтын шамалау.

Нәтижесі: BMO-дан L∞-ға дейінгі арақашықтық

Джон-Ниренберг теңсіздігі функцияның BMO нормасынан гөрі көбірек ақпарат бере алады. Жергілікті интегралданатын f функциясы үшін, A(f) деп A>0 мәнінің ең төменгі шегін атаймыз, оған сәйкес

Джон-Ниренберг теңсіздігі A(f) ≤ C||f||BMO болатынын білдіреді, мұнда C – әмбебап тұрақты сан. Дегенмен, L∞ функциясы үшін жоғарыдағы теңсіздік кез келген A > 0 үшін орындалады. Басқаша айтқанда, егер f L∞-да болса, онда A(f) = 0. Сондықтан, тұрақты A(f) BMO кеңістігіндегі функцияның L∞ подпространствосынан қаншалықты алшақтау орналасқанын өлшеуге мүмкіндік береді. Бұл тұжырымды нақтырақ айтуға болады: тек өлшем n-ге ғана тәуелді C тұрақты саны бар, осыған сәйкес кез келген f ∈ BMO(Rn) функциясы үшін келесі екі жақты теңсіздік орындалады.

BMOA H1 ((D) -дің қос кеңістігі ретінде

Чарльз Фефферман өзінің алғашқы еңбегінде нақты BMO кеңістігінің, Rn × (0, ∞) жоғарғы жарты жазықтығындағы нақты мәнді гармоникалық Харди кеңістігіне дуалды екенін дәлелдеді. Комплекстік және гармоникалық талдау теориясында оның нәтижесі былай тұжырымдалады. Hp(D) – бірлік дискідегі аналитикалық Харди кеңістігі болсын. p = 1 болғанда, (H1)* кеңістігін BMOA кеңістігімен f ∈ H1(D) және g ∈ BMOA жұптарын антилинейлік түрлендіру Tg арқылы сәйкестендіреміз.

Анықтама: H1 функциясы f үшін лимит әрқашан бар екенін ескеріңіз, және Tg – (H1)* қос кеңістігінің мүшесі. Бірақ түрлендіру антилинейлік болғандықтан, (H1)* және BMOA арасында изометриялық изоморфизм жоқ. Дегенмен, конъюгацияланған BMOA функцияларының кеңістігін қарастырсақ, изометрия алуға болады.

Ғарыш VMO

Жою орташа тербелісі функцияларының VMO кеңістігі – шексіздікте жоғалатын үздіксіз функциялардың BMO кеңістігіндегі жабылуы. Оны Q кубтарындағы "орташа тербелістері" шектелі ғана емес, сонымен қатар Q кубының радиусы 0-ге немесе ∞-ге ұмтылғанда біркелкі түрде нөлге ұмтылатын функциялар кеңістігі ретінде де анықтауға болады. VMO кеңістігі – шексіздікте жоғалатын үздіксіз функциялар кеңістігіне Харди кеңістігінің ұқсас аналогы, және нақты мәнді гармоникалық H1 кеңістігі VMO кеңістігінің дуалы болып табылады.

Диадикалық BMO кеңістігі

Δ Rn-дегі диадтық кубтар жиынтығын белгілейді. Диадикалық BMO кеңістігі, BMOd деп жазылады, BMO функциялары үшін сол теңсіздікті қанағаттандыратын функциялардың кеңістігі, бірақ тек supremum барлық диадтық кубтар бойынша алынады. Бұл supremum кейде ||•||BMOd деп белгіленеді. Бұл кеңістік BMO-ны қамтиды. Атап айтқанда, log(x)χ[0,∞) функциясы диадтық BMO-да, бірақ BMO-да емес. Дегенмен, егер f функциясы үшін ||f(•−x)||BMOd ≤ C шарты Rn-дегі барлық x үшін орындалса, мұнда C > 0, онда үштен бір амал арқылы f сондай-ақ BMO-да болады. Rn орнына Tn-де BMO үшін, егер f функциясы үшін ||f(•−x)||BMOd ≤ C шарты n+1 тиісті таңдалған x үшін орындалса, онда f сондай-ақ BMO-да болады. Бұл BMO(Tn) n+1 трансляцияның қиылысы екенін білдіреді. Дуальдік бойынша, H1(Tn) диадтық H1-дің n+1 трансляциясының қосындысы болады. Диадикалық BMO, BMO-ға қарағанда әлдеқайда тар класс болғанымен, BMO үшін дұрыс болатын көптеген теоремаларды диадтық BMO үшін дәлелдеу әлдеқайда оңай, және кейбір жағдайларда оларды арнайы диадтық жағдайда дәлелдеу арқылы бастапқы BMO теоремаларын қайта қалпына келтіруге болады.

Тарихи сілтемелер

. Эластикалық теория мен математикалық талдаудың жемісті өзара әрекеттесуі туралы тарихи мақала. .

Ғылыми сілтемелер

Since no English text was provided, and the reference translation is empty, I cannot provide a translation. Please provide the English text you want translated.