Кіріспе
Гипер жазықтықтың болуы туралы, бөлінген құрғақ жиынтықтарды бөліп тұратын геометрияда гипер жазықтықты бөлу теоремасы - n өлшемді Евклид кеңістігіндегі бөлінген құрғақ жиынтықтар туралы теорема. Бірнеше ұқсас нұсқалар бар. Теореманың бір нұсқасында, егер бұл екі жиынтық та жабық болса және олардың кем дегенде біреуі тығыз болса, онда олардың арасында гиперсамал және тіпті екі параллель гиперсамал бар, олар арақашықтықпен бөлінеді. Басқа нұсқада, егер екі деригентті құрғақ жиынтық ашық болса, онда олардың арасында гиперсары бар, бірақ міндетті түрде ешқандай бос орын жоқ. Бөлек қылатын гиперсарықпен ортогональ болатын ось - бұл бөлгіш ось, өйткені дөңес денелердің ортогональды проекциялары оське жалғаспайды. Гипер жазықтықпен бөліну теоремасы Герман Минковскийге байланысты. Ханн-Банахтың бөліну теоремасы нәтижені топологиялық векторлық кеңістікке жалпылайды. Осыған байланысты нәтиже - гипержапсары теорема. Қолдау векторлы машиналар жағдайында, оптималдық бөлінетін гипержапқыш немесе ең үлкен шекті гипержапқыш - екі құрғақ корпусты бөлетін және екеуінен бірдей қашықтықтағы гипержапқыш.
In geometry, the hyperplane separation theorem is a theorem about disjoint convex sets in n dimensional Euclidean space. There are several rather similar versions. In one version of the theorem, if both these sets are closed and at least one of them is compact, then there is a hyperplane in between them and even two parallel hyperplanes in between them separated by a gap. In another version, if both disjoint convex sets are open, then there is a hyperplane in between them, but not necessarily any gap. An axis which is orthogonal to a separating hyperplane is a separating axis, because the orthogonal projections of the convex bodies onto the axis are disjoint. The hyperplane separation theorem is due to Hermann Minkowski. The Hahn–Banach separation theorem generalizes the result to topological vector spaces. A related result is the supporting hyperplane theorem. In the context of support vector machines, the optimally separating hyperplane or maximum margin hyperplane is a hyperplane which separates two convex hulls of points and is equidistant from the two.
Теореманың кері
Екі теңсіздіктің де қатаң емес екендігі туралы әлсіз мағынада екі құрғақ жиынтықты "бөлшейтін" гиперсарықтың болуы екі жиынтықтың ажыратылмағанын білдірмейді. Екі жиынның да гипердеңгейде орналасқан нүктелері болуы мүмкін.
Қарсы үлгілер мен бірегейлік
Егер A немесе B-дің бірі құрғақ болмаса, онда көптеген мүмкін қарсы мысалдар бар. Мысалы, A және B концентрикалық шеңберлер болуы мүмкін. Ең жұмсақ қарсы мысал - A және B екеуі де жабық, бірақ екеуінің де бірі тығыз емес. Мысалы, егер A - жабық жарты жазықтық болса және B гиперболаның бір қолымен шектелетін болса, онда қатаң ажыратушы гипер жазықтық жоқ: (егерде екінші теореманың бір мысалы бойынша олардың ішкі бөліктерін бөлетін гипер жазықтық бар болса да). Контрмысалдың басқа бір түрі A тығыз, B ашық. Мысалы, A жабық квадрат, ал B А-ға жанасатын ашық квадрат болуы мүмкін. Теореманың бірінші нұсқасында, айқын түрде, бөліп тұрған гиперсамал ешқашан бірегей емес. Екінші нұсқада ол бірегей болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін. Техникалық жағынан бөлуші ось ешқашан бірегей емес, өйткені оны аударуға болады; теореманың екінші нұсқасында бөлуші ось аудармаға дейін бірегей болуы мүмкін. Мүйіз бұрышы көптеген гипер жазықтық бөлінулеріне жақсы қарсы мысал болып табылады.
(Although, by an instance of the second theorem, there is a hyperplane that separates their interiors.) Another type of counterexample has A compact and B open. For example, A can be a closed square and B can be an open square that touches A. In the first version of the theorem, evidently the separating hyperplane is never unique. In the second version, it may or may not be unique. Technically a separating axis is never unique because it can be translated; in the second version of the theorem, a separating axis can be unique up to translation. The horn angle provides a good counterexample to many hyperplane separations. For example, in , the unit disk is disjoint from the open interval , but the only line separating them contains the entirety of This shows that if is closed and is relatively open, then there does not necessarily exist a separation that is strict for However, if is closed polytope then such a separation exists.