Введение
О существовании гиперплоскостей, разделяющих несвязанные выпуклые множества В геометрии теорема разделения гиперплоскостей - это теорема о несвязанных выпуклых множествах в n-мерном евклидовом пространстве. Есть несколько довольно похожих версий. В одной версии теоремы, если оба этих множества закрыты и по крайней мере одно из них компактно, то между ними есть гиперплоскость и даже две параллельные гиперплоскости между ними, разделенные промежутком. В другой версии, если оба диссоединенных выпуклых множества открыты, то между ними есть гиперплоскость, но не обязательно какой-либо промежуток. Осевая, которая ортогональна разделительной гиперплоскости, является разделительной осью, потому что ортогональные проекции выпуклых тел на ось не соединяются. Теорема разделения гиперплоскости была разработана Германном Минковским. Теорема разделения Ханна-Банаха обобщает результат в топологических векторных пространствах. Связанный результат - это теорема о поддержке гиперплоскости. В контексте поддерживающих векторных машин, оптимально разделяющая гиперплоскость или максимальная граничная гиперплоскость - это гиперплоскость, которая разделяет два выпуклых корпуса точек и находится на одинаковом расстоянии от них.
In geometry, the hyperplane separation theorem is a theorem about disjoint convex sets in n dimensional Euclidean space. There are several rather similar versions. In one version of the theorem, if both these sets are closed and at least one of them is compact, then there is a hyperplane in between them and even two parallel hyperplanes in between them separated by a gap. In another version, if both disjoint convex sets are open, then there is a hyperplane in between them, but not necessarily any gap. An axis which is orthogonal to a separating hyperplane is a separating axis, because the orthogonal projections of the convex bodies onto the axis are disjoint. The hyperplane separation theorem is due to Hermann Minkowski. The Hahn–Banach separation theorem generalizes the result to topological vector spaces. A related result is the supporting hyperplane theorem. In the context of support vector machines, the optimally separating hyperplane or maximum margin hyperplane is a hyperplane which separates two convex hulls of points and is equidistant from the two.
Конверс теоремы
Обратите внимание, что существование гиперплоскости, которая только "разделяет" два выпуклых множества в слабом смысле того, что оба неравенства не строги, очевидно, не означает, что два множества не связаны. Оба набора могут иметь точки, расположенные на гиперплоскости.
Контрпримеры и уникальность
Если один из A или B не выпуклый, то существует много возможных контрпримеров. Например, A и B могут быть концентрическими кругами. Более тонкий контрпример - тот, в котором A и B оба закрыты, но ни один из них не компактный. Например, если A - закрытая полуплоскость, а B - граничит с одной рукой гиперболы, то нет строго разделяющей гиперплоскости: (Хотя, по примеру второй теоремы, есть гиперплоскость, которая отделяет их внутренние части). Другой тип контрпример имеет компактный A и открытый B. Например, A может быть закрытым квадратом, а B может быть открытым квадратом, который касается A. В первой версии теоремы, очевидно, разделяющая гиперплоскость никогда не является уникальной. Во второй версии, он может быть уникальным или не быть уникальным. Технически разделяющая ось никогда не является уникальной, потому что она может быть переведена; во второй версии теоремы разделяющая ось может быть уникальной до перевода. Угол рога является хорошим контрпримером для многих разделений гиперплоскости. Например, в , единичный диск является разъединенным от открытого интервала , но единственная линия, разделяющая их, содержит всю его часть. Это показывает, что если диск закрыт и относительно открыт, то не обязательно существует разделение, строгое для . Однако, если он закрыт, то такое разделение существует.
(Although, by an instance of the second theorem, there is a hyperplane that separates their interiors.) Another type of counterexample has A compact and B open. For example, A can be a closed square and B can be an open square that touches A. In the first version of the theorem, evidently the separating hyperplane is never unique. In the second version, it may or may not be unique. Technically a separating axis is never unique because it can be translated; in the second version of the theorem, a separating axis can be unique up to translation. The horn angle provides a good counterexample to many hyperplane separations. For example, in , the unit disk is disjoint from the open interval , but the only line separating them contains the entirety of This shows that if is closed and is relatively open, then there does not necessarily exist a separation that is strict for However, if is closed polytope then such a separation exists.