Бұзылған магниттік күйлер: спин шынысы

Кіріспе

Бұзылған магниттік күй

Қатты дене физикасында спиндік шыны – кездейсоқтықпен сипатталатын магниттік күй, сонымен қатар спиндердің «мұздау температурасы» деп аталатын температурада қатып қалуымен байланысты кооперативтік мінез-құлық. Ферромагниттік қатты денелерде құрамдас атомдардың магниттік спиндері бір бағытта тізіледі. Спин шыны, ферромагнетизмге қарастырылғанда, спиндердің кездейсоқ немесе ретсіз орналасқан және байланыстардың да кездейсоқ болатын «ретсіз» магниттік күй ретінде анықталады. Спин шыны әдеттегі магниттік қасиеттерді көрсетеді (мысалы, парамагнетизм). Егер сынамаға магнит өрісі қолданылып, температурасы ауысу температурасына дейін төмендетілсе, сынаманың магниттелуі Кюри заңымен сипатталғандай артады. Tc-ге жеткенде, сынама спиндік шыныға айналады, ал одан әрі салқындату магниттелуде аз өзгерістерге алып келеді. Бұл өріс салқындатылған магниттелу деп аталады. Сыртқы магнит өрісі алынғанда, спиндік шынының магниттелуі тез төмендейді, ал қалдық магниттелу деп белгілі бір төменгі мәнге жетеді. Содан кейін магниттелу нөлге жақындағанда баяу ыдырайды (немесе бастапқы мәннің кішкентай үлесі белгісіз болып қалады). Бұл ыдырау экспоненциалды емес, ал магниттелу мен уақыттың қисығына ешқандай қарапайым функция сәйкес келмейді. Бұл баяу ыдырау спиндік шыныға тән. Күндерге созылған тәжірибелік өлшемдер құралдардың шу деңгейінен жоғары тұрақты өзгерістерді көрсетті. Спиндік шынылар ферромагниттік материалдардан сыртқы магнит өрісі алынғаннан кейін ферромагниттік заттың магниттелуі шексіз уақыт бойы сақталатын қалдық мәнінде қалатындығымен ерекшеленеді. Парамагниттік материалдар спиндік шынылардан сыртқы магнит өрісі алынғаннан кейін магниттелудің тез нөлге төмендеуімен ерекшеленеді, қалдық магниттелу болмайды. Бұл ыдырау жылдам және экспоненциалды болады. Егер сынама сыртқы магнит өрісі болмағанда Tc-ден төмен салқындатылса, және спиндік шыны фазасына ауысқаннан кейін магнит өрісі қолданылса, нөлдік өрісте салқындатылған магниттелу деп аталатын мәнге дейін жылдам бастапқы өсу болады. Содан кейін өрісте салқындатылған магниттелуге қарай баяу жоғары қарай жылжу орын алады. Күдік тудыратыны, уақыттың екі күрделі функциясының (нөлдік өрісте салқындатылған және қалдық магниттелулер) қосындысы тұрақты, атап айтқанда өрісте салқындатылған мән, сондықтан олар екеуі де уақыт бойынша бірдей функционалдық формаларды бөліседі, кем дегенде өте кішкентай сыртқы өрістер шегінде.

In condensed matter physics, a spin glass is a magnetic state characterized by randomness, besides cooperative behavior in freezing of spins at a temperature called "freezing temperature" Tf. In ferromagnetic solids, component atoms' magnetic spins all align in the same direction. Spin glass when contrasted with a ferromagnet is defined as "disordered" magnetic state in which spins are aligned randomly or without a regular pattern and the couplings too are random. the spin glass exhibits typical magnetic behaviour (such as paramagnetism). If a magnetic field is applied as the sample is cooled to the transition temperature, magnetization of the sample increases as described by the Curie law. Upon reaching Tc, the sample becomes a spin glass, and further cooling results in little change in magnetization. This is referred to as the field cooled magnetization. When the external magnetic field is removed, the magnetization of the spin glass falls rapidly to a lower value known as the remanent magnetization. Magnetization then decays slowly as it approaches zero (or some small fraction of the original value this remains unknown). This decay is non exponential, and no simple function can fit the curve of magnetization versus time adequately. This slow decay is particular to spin glasses. Experimental measurements on the order of days have shown continual changes above the noise level of instrumentation. Spin glasses differ from ferromagnetic materials by the fact that after the external magnetic field is removed from a ferromagnetic substance, the magnetization remains indefinitely at the remanent value. Paramagnetic materials differ from spin glasses by the fact that, after the external magnetic field is removed, the magnetization rapidly falls to zero, with no remanent magnetization. The decay is rapid and exponential. If the sample is cooled below Tc in the absence of an external magnetic field, and a magnetic field is applied after the transition to the spin glass phase, there is a rapid initial increase to a value called the zero field cooled magnetization. A slow upward drift then occurs toward the field cooled magnetization. Surprisingly, the sum of the two complicated functions of time (the zero field cooled and remanent magnetizations) is a constant, namely the field cooled value, and thus both share identical functional forms with time, at least in the limit of very small external fields.

Шеррингтон-Киркпатрик моделі

Ерекше эксперименттік қасиеттерінен басқа, спиндік шынылар кең теориялық және есептеу зерттеулерінің нысаны болып табылады. Спиндік шыныларға қатысты алғашқы теориялық жұмыстардың көп бөлігі жүйенің бөліну функциясының репликалар жиынтығына негізделген орташа өріс теориясының бір түрімен айналысты. Дэвид Шеррингтон мен Скотт Киркпатрик 1975 жылы спиндік шынының маңызды, дәл шешілетін моделін ұсынды. Бұл ұзақ қашықтықтағы фрустрацияланған ферромагниттік және антиферромагниттік байланыстары бар Изинг моделі. Ол спиндік шынылардың магниттелудің баяу динамикасын және күрделі, ергодикалық емес тепе-теңдік күйін сипаттайтын орташа өріс жақындауына сәйкес келеді. Эдвардс-Андерсон (ЭА) моделінен айырмашылығы, жүйеде тек екі спиндік өзара әрекеттесу қарастырылса да, әрбір өзара әрекеттесудің радиусы потенциалды шексіз болуы мүмкін (тордың өлшеміне шамалас). Сондықтан, кез келген екі спин ферромагниттік немесе антиферромагниттік байланыс арқылы байланыса алады және олардың таралуы Эдвардс-Андерсон моделіндегідей дәл берілген. SK моделі үшін Гамильтониан EA моделіне өте ұқсас: мұнда EA моделіндегідей мәндер қолданылады. Шеррингтон, Киркпатрик және басқалардың алғашқы әрекеттерінен кейін модельдің тепе-теңдік шешімі 1979 жылы Джорджио Паризи реплика әдісімен табылды. Паризи шешімін түсіндіруге қатысты М. Мезард, Г. Паризи, М.А. Вирасоро және басқалардың жұмыстары ергодикалық бұзылу, ультраметрия және өзін-өзі орталамаламау сипаттамаларымен ерекшеленетін шыны тәрізді төмен температуралық фазаның күрделі табиғатын ашты. Бұдан әрі дамулар төмен температуралық фазаны репликасыз зерттеуге мүмкіндік берген қуыс әдісін құруға әкелді. Франческо Гера мен Мишель Талаграндтың еңбектерінде Паризи шешімінің қатаң дәлелі келтірілген. Репликалық орташа өріс теориясының формализмі нейрондық желілерді зерттеуде де қолданылды, бұл қарапайым нейрондық желі архитектураларының сақтау сыйымдылығы сияқты қасиеттерін оқыту алгоритмін (мысалы, кері таратуды) жобалау немесе жүзеге асыру қажет болмайынша есептеуге мүмкіндік берді. Қысқа қашықтықтағы фрустрацияланған өзара әрекеттесулер мен тәртіпсіздік бар, мысалы, Гаусс моделі, онда көрші спиндер арасындағы байланыстар Гаусс таралуын сақтайды, Монте-Карло модельдеуін пайдалану арқылы кеңінен зерттелді. Бұл модельдер өткір фазалық өтулермен шектелген спиндік шыны фазаларын көрсетеді. Қатты дене физикасындағы маңыздылығынан басқа, спиндік шыны теориясы нейрондық желілер теориясы, компьютерлік ғылым, теориялық биология, эконофизика және т.б. салаларында қолданылуларымен күшті мультидисциплинарлық сипатқа ие болды.

In addition to unusual experimental properties, spin glasses are the subject of extensive theoretical and computational investigations. A substantial part of early theoretical work on spin glasses dealt with a form of mean field theory based on a set of replicas of the partition function of the system. An important, exactly solvable model of a spin glass was introduced by David Sherrington and Scott Kirkpatrick in 1975. It is an Ising model with long range frustrated ferro as well as antiferromagnetic couplings. It corresponds to a mean field approximation of spin glasses describing the slow dynamics of the magnetization and the complex non ergodic equilibrium state. Unlike the Edwards–Anderson (EA) model, in the system though only two spin interactions are considered, the range of each interaction can be potentially infinite (of the order of the size of the lattice). Therefore, we see that any two spins can be linked with a ferromagnetic or an antiferromagnetic bond and the distribution of these is given exactly as in the case of Edwards–Anderson model. The Hamiltonian for SK model is very similar to the EA model:

where have same meanings as in the EA model. The equilibrium solution of the model, after some initial attempts by Sherrington, Kirkpatrick and others, was found by Giorgio Parisi in 1979 with the replica method. The subsequent work of interpretation of the Parisi solution—by M. Mezard, G. Parisi, M. A. Virasoro and many others—revealed the complex nature of a glassy low temperature phase characterized by ergodicity breaking, ultrametricity and non selfaverageness. Further developments led to the creation of the cavity method, which allowed study of the low temperature phase without replicas. A rigorous proof of the Parisi solution has been provided in the work of Francesco Guerra and Michel Talagrand. The formalism of replica mean field theory has also been applied in the study of neural networks, where it has enabled calculations of properties such as the storage capacity of simple neural network architectures without requiring a training algorithm (such as backpropagation) to be designed or implemented. More realistic spin glass models with short range frustrated interactions and disorder, like the Gaussian model where the couplings between neighboring spins follow a Gaussian distribution, have been studied extensively as well, especially using Monte Carlo simulations. These models display spin glass phases bordered by sharp phase transitions. Besides its relevance in condensed matter physics, spin glass theory has acquired a strongly interdisciplinary character, with applications to neural network theory, computer science, theoretical biology, econophysics etc.

Шексіз аралықтағы модель

Бұл "p спин моделі" деп те аталады. Шексіз ауқымдық модель – Шеррингтон-Киркпатрик моделінің жалпылама түрі, онда тек екі спиндік өзара әрекеттесу ғана емес, спиндік өзара әрекеттесу де қарастырылады, мұнда және – спиндердің жалпы саны. Эдвардс-Андерсон моделінен өзгеше, СК моделіне ұқсас, өзара әрекеттесу ауқымы бұрынғысындей шексіз. Бұл модельдің Гамильтонианы былай сипатталады:

мұндағы - EA моделіндегідей мәні бар. Бұл модельдің лимиті кездейсоқ энергия моделі деп аталады. Бұл лимитте спин шынысының белгілі бір күйде болу ықтималдығы тек сол күйдің энергиясына ғана тәуелді екені, ал ондағы жеке спин конфигурацияларына емес екені көрінеді. Бұл модельді шешу үшін әдетте тор арқылы магниттік байланыстардың Гаусс таралуы қолданылады. Орталық шек теоремасының салдарынан кез келген басқа таралым да сол нәтижені береді деп күтіледі. Орташасы және дисперсиясы бар Гаусс таралым функциясы былай беріледі:

Бұл жүйе үшін реттік параметрлер – магниттелу және екі түрлі репликадағы бір сайттағы спиндер арасындағы екі нүктелік спиндік корреляция, олар СК моделіне ұқсас. Бұл шексіз ауқымдық модель реплика симметриясы және 1 реплика симметриясын бұзу болжамымен еркін энергияны анықтау үшін нақты түрде шешіледі.

Эргодикалық емес мінез-құлық және қолдану

Термодинамикалық жүйе ергодикалық болып есептеледі, егер жүйенің кез келген (тепе-теңдік) жағдайында, ол бірдей энергияға ие кез келген басқа мүмкін (тепе-теңдік) күйге көше алатын болса. Спин шыны жүйелерінің бір ерекшелігі – мұздату температурасынан төменде инстанциялар «эргодикалық емес» күйлер жиынында тұрып қалады: жүйе бірнеше күйлер арасында ауытқуы мүмкін, бірақ эквивалентті энергияға ие басқа күйлерге өте алмайды. Интуитивті тұрғыдан алғанда, жүйе иерархиялық түрде ретсіз энергия ландшафтының терең минимумдарынан шыға алмайды деуге болады; минимумдар арасындағы қашықтықтар ультраметрлікпен беріледі, ал минимумдар арасында биік энергиялық тосқауылдар болады. Қатысу коэффициенті берілген инстанциядан қол жетімді күйлер санын, яғни негізгі күйге қатысатын күйлер санын есептейді. Спин шынының ергодикалық аспектісі 2021 жылғы физика саласындағы Нобель сыйлығының жартысын Джорджио Паризиге беруде шешуші роль атқарды. Физикалық жүйелер үшін, мысалы, мыстағы сұйылтылған марганец үшін мұздату температурасы әдетте 30 кельвинге дейін төмендейді (-240 °C), сондықтан спин шынының магнетизмі күнделікті өмірде қолдануға икемді көрінбейді. Дегенмен, эргодикалық емес күйлер мен құрылымдық энергия ландшафттары белгілі бір нейрондық желілердің, оның ішінде Хопфилд желілерінің әрекетін түсінуде, сондай-ақ компьютерлік ғылымдағы оптимизация және генетика салаларындағы көптеген мәселелерді шешуде өте пайдалы.

Құрылымы бұзылмаған шикізатты

Элементарлы кристалдық неодим бөлме температурасында парамагниттік болып келеді және 19.9 К-тен төмен температураға дейін салқындағанда тең емес реттілікпен антиферромагнитке айналады. Бұл өтпелі температурадан төмен ол ұзақ спиндік релаксация уақыттарына және құрылымдық тәртіпсіздікке тәуелді емес спиндік шыны тәріздес мінез-құлыққа ие күрделі магниттік фазалар жиынтығын көрсетеді.

Тарих

1960 жылдардың басынан 1980 жылдардың соңына дейінгі спиндік шынылар тарихының толық сипаттамасын Филип В. Андерсонның Physics Today журналындағы танымал мақалалар сериясінде кездестіруге болады.