Введение

Неупорядоченное магнитное состояние

В физике конденсированного состояния спиновое стекло – это магнитное состояние, характеризующееся случайностью, наряду с кооперативным поведением при замораживании спинов при температуре, называемой «температурой замораживания» Tf. В ферромагнитных твердых телах магнитные спины атомов выстраиваются в одном направлении. Спин-стекло, в отличие от ферромагнетика, определяется как «неупорядоченное» магнитное состояние, в котором спины выровнены случайным образом или без какой-либо регулярной закономерности, а сами связи между спинами также случайны. Спин-стекло демонстрирует типичное магнитное поведение (например, парамагнетизм). Если при охлаждении образца до температуры перехода прикладывается магнитное поле, намагниченность образца увеличивается в соответствии с законом Кюри. При достижении Tc образец становится спиновым стеклом, а дальнейшее охлаждение приводит к незначительному изменению намагниченности. Это называется намагниченностью при охлаждении в поле. Когда внешнее магнитное поле снимается, намагниченность спинового стекла быстро падает до более низкого значения, известного как остаточная намагниченность. Затем намагниченность медленно убывает по мере приближения к нулю (или к некоторой малой доле первоначального значения, которая пока остается неизвестной). Это убывание не является экспоненциальным, и ни одна простая функция не может адекватно описать зависимость намагниченности от времени. Это медленное убывание характерно именно для спиновых стекол. Экспериментальные измерения в течение нескольких дней показали непрерывные изменения, превышающие уровень шума приборов. Спин-стекла отличаются от ферромагнитных материалов тем, что после снятия внешнего магнитного поля с ферромагнитного вещества, намагниченность остается неопределенно долго на уровне остаточной намагниченности. Парамагнитные материалы отличаются от спиновых стекол тем, что после снятия внешнего магнитного поля намагниченность быстро падает до нуля, без остаточной намагниченности. Убывание происходит быстро и экспоненциально. Если образец охлаждается ниже Tc в отсутствие внешнего магнитного поля, а магнитное поле прикладывается после перехода в фазу спинового стекла, происходит быстрое начальное увеличение до значения, называемого намагниченностью при охлаждении в нулевом поле. Затем происходит медленное увеличение в направлении намагниченности при охлаждении в поле. Удивительно, что сумма двух сложных функций времени (намагниченности при охлаждении в нулевом поле и остаточной намагниченности) является постоянной, а именно – значением намагниченности при охлаждении в поле, и, следовательно, обе функции имеют идентичную зависимость от времени, по крайней мере, в пределах очень слабых внешних полей.

Модель Шеррингтона и Киркпатрика

В дополнение к необычным экспериментальным свойствам, спиновые стекла являются предметом обширных теоретических и вычислительных исследований. Значительная часть ранних теоретических работ по спиновым стеклам была посвящена форме теории среднего поля, основанной на наборе реплик функции разделения системы. Важная, точно решаемая модель спинового стекла была предложена Дэвидом Шеррингтоном и Скотом Киркпатриком в 1975 году. Это модель Изинга с дальним диапазоном фрустрированных ферро- и антиферромагнитных взаимодействий. Она соответствует приближению среднего поля для спиновых стекол, описывающему медленную динамику намагниченности и сложное неэргодическое равновесное состояние. В отличие от модели Эдвардса–Андерсона (EA), в данной системе, хотя рассматриваются только два спиновых взаимодействия, диапазон каждого взаимодействия может быть потенциально бесконечным (порядка размера решетки). Таким образом, любые два спина могут быть связаны ферромагнитной или антиферромагнитной связью, а распределение этих связей задается точно так же, как в модели Эдвардса–Андерсона. Гамильтониан для модели SK очень похож на модель EA:

где имеют те же значения, что и в модели EA. Равновесное решение модели, после первых попыток Шеррингтона, Киркпатрика и других, было найдено Джорджио Паризи в 1979 году с использованием метода реплик. Последующие работы по интерпретации решения Паризи, выполненные М. Мезардом, Г. Паризи, М. А. Вирасоро и многими другими, выявили сложную природу стекловидной низкотемпературной фазы, характеризующейся нарушением эргодичности, ультраметричностью и отсутствием самоусреднения. Дальнейшие разработки привели к созданию метода полости, который позволил изучать низкотемпературную фазу без использования реплик. Строгое доказательство решения Паризи было представлено в работах Франческо Герра и Мишеля Талагранда. Формализм теории среднего поля реплик также применяется в изучении нейронных сетей, где он позволяет рассчитывать такие свойства, как емкость хранения простых архитектур нейронных сетей, без необходимости проектирования или реализации алгоритма обучения (например, обратного распространения ошибки). Более реалистичные модели спиновых стекол с ближним диапазоном фрустрированных взаимодействий и беспорядком, такие как гауссовская модель, в которой взаимодействия между соседними спинами подчиняются гауссовскому распределению, также были широко изучены, особенно с использованием метода Монте-Карло. Эти модели демонстрируют спиновые стеклянные фазы, ограниченные резкими фазовыми переходами. Помимо своей значимости в физике конденсированного состояния, теория спиновых стекол приобрела ярко выраженный междисциплинарный характер, находя применение в теории нейронных сетей, информатике, теоретической биологии, эконофизике и др.

Модель бесконечного диапазона

Это также называется "p-спиновой моделью". Модель бесконечного радиуса действия является обобщением модели Шеррингтона — Киркпатрика, в которой рассматриваются не только взаимодействия двух спинов, но и спиновые взаимодействия, где *p* — общее число спинов. В отличие от модели Эдвардса — Андерсона, подобно модели СК, радиус действия взаимодействия остаётся бесконечным. Гамильтониан для этой модели описывается следующим образом:

где переменные имеют аналогичное значение, как и в модели EA. Предел этой модели известен как модель случайных энергий. В этом пределе можно увидеть, что вероятность существования спинового стекла в определённом состоянии зависит только от энергии этого состояния и не зависит от индивидуальных конфигураций спинов в нём. Обычно для решения этой модели предполагается гауссовское распределение магнитных связей по решётке. Ожидается, что любое другое распределение даст тот же результат, как следствие центральной предельной теоремы. Функция гауссовского распределения со средним значением μ и дисперсией σ² задаётся как:

Параметры порядка для этой системы задаются намагниченностью *m* и двухточечной спиновой корреляцией между спинами в одной и той же точке *i* в двух различных репликах, которые такие же, как и для модели SK. Эта модель бесконечного радиуса действия может быть решена аналитически для свободной энергии в терминах *p* и σ², при условии репликационной симметрии, а также при одном нарушении репликационной симметрии.

Неэргодическое поведение и применения

Термодинамическая система является эргодической, когда, исходя из любого (равновесного) экземпляра системы, она в конечном итоге посещает каждое другое возможное (равновесное) состояние (с той же энергией). Одной из характеристик спин-стеклянных систем является то, что ниже температуры замерзания экземпляры оказываются запертыми в "неэргодическом" множестве состояний: система может флуктуировать между несколькими состояниями, но не способна перейти в другие состояния с эквивалентной энергией. Интуитивно можно сказать, что система не может вырваться из глубоких минимумов иерархически неупорядоченного энергетического ландшафта; расстояния между минимумами задаются ультраметрикой, а между минимумами существуют высокие энергетические барьеры. Коэффициент участия определяет количество состояний, доступных из данного экземпляра, то есть количество состояний, участвующих в основном состоянии. Эргодический аспект спин-стекла сыграл ключевую роль в присуждении половины Нобелевской премии по физике 2021 года Джорджио Паризи. Для физических систем, таких как разбавленный марганец в меди, температура замерзания обычно составляет всего около 30 кельвинов (−240 °C), поэтому спин-стеклянный магнетизм, по-видимому, не имеет практического применения в повседневной жизни. Однако неэргодические состояния и шероховатый энергетический ландшафт оказываются весьма полезными для понимания поведения определенных нейронных сетей, включая сети Хопфилда, а также для решения многих задач в области оптимизации компьютерных наук и генетики.

Стекло, не имеющее нарушения в конструкции

Элементарный кристаллический неодим парамагнитен при комнатной температуре и становится антиферромагнетиком с несоизмеримой структурой при охлаждении ниже 19,9 К. Ниже температуры этого перехода он демонстрирует сложный набор магнитных фаз с длительным временем спиновой релаксации и спин-стеклообразное поведение, не связанное со структурным беспорядком.

История этой области

Подробное изложение истории спиновых стекол с начала 1960-х до конца 1980-х годов можно найти в серии популярных статей Филиппа У. Андерсона в журнале Physics Today.