Введение

Набор с ассоциативной обратимой операцией – основные понятия групп в математике

В математике группа – это множество с операцией, удовлетворяющей следующим условиям: операция ассоциативна и имеет нейтральный элемент, а каждый элемент множества имеет обратный элемент. Многие математические структуры являются группами, наделенными дополнительными свойствами. Например, целые числа с операцией сложения образуют бесконечную группу, порождаемую единственным элементом, называемым 1 = 1 (эти свойства однозначно характеризуют целые числа). Понятие группы было разработано для унифицированного подхода ко многим математическим структурам, таким как числа, геометрические фигуры и корни многочленов. Ввиду повсеместного применения концепции групп в многочисленных областях как внутри, так и вне математики, некоторые авторы рассматривают её как центральный организующий принцип современной математики. В геометрии группы возникают естественным образом при изучении симметрий и геометрических преобразований: симметрии объекта образуют группу, называемую группой симметрии объекта, а преобразования данного типа образуют общую группу. Группы Ли встречаются в группах симметрии в геометрии, а также в Стандартной модели физики элементарных частиц. Группа Пуанкаре – это группа Ли, состоящая из симметрий пространства-времени в специальной теории относительности. Точечные группы описывают симметрию в молекулярной химии. Понятие группы возникло при изучении полиномиальных уравнений, начиная с Эвариста Галуа в 1830-х годах, который ввел термин «группа» (фр. groupe) для группы симметрии корней уравнения, ныне называемой группой Галуа. После вклада других областей, таких как теория чисел и геометрия, понятие группы было обобщено и окончательно утверждено около 1870 года. Современная теория групп – активная математическая дисциплина – изучает группы как самостоятельные объекты. Для исследования групп математики разработали различные понятия, позволяющие разбивать группы на более мелкие и понятные части, такие как подгруппы, факторгруппы и простые группы. Помимо абстрактных свойств, теоретики групп также изучают различные способы конкретного представления группы, как с точки зрения теории представлений (то есть через представления группы), так и с точки зрения вычислительной теории групп. Для конечных групп была разработана теория, кульминацией которой стала классификация конечных простых групп, завершенная в 2004 году. С середины 1980-х годов геометрическая теория групп, изучающая конечно порожденные группы как геометрические объекты, стала активной областью в теории групп.

Обозначение и терминология

Формально, группа — это упорядоченная пара, состоящая из множества и бинарной операции на этом множестве, удовлетворяющей аксиомам группы. Множество называется базовым множеством группы, а операция — групповой операцией или групповым законом. Таким образом, группа и её базовое множество — это два различных математических объекта. Чтобы избежать громоздких обозначений, часто прибегают к злоупотреблению обозначениями, используя один и тот же символ для обозначения обоих. Это также отражает неформальный способ мышления: группа — это то же самое множество, но обогащённое дополнительной структурой, предоставляемой операцией. Например, рассмотрим множество вещественных чисел ℝ, которое имеет операции сложения и умножения ab. Формально, ℝ — это множество, ℝ — это группа, и ℝ — это поле. Но обычно пишут ℝ для обозначения любого из этих трёх объектов. Аддитивная группа поля — это группа, базовым множеством которой является ℝ, а операцией — сложение. Умножающая группа поля — это группа, базовым множеством которой является множество ненулевых вещественных чисел, а операцией — умножение. В более общем смысле, об аддитивной группе говорят, когда групповая операция обозначается сложением; в этом случае нейтральный элемент обычно обозначается 0, а обратный элемент к x — как -x. Аналогично, об умножающей группе говорят, когда групповая операция обозначается умножением; в этом случае нейтральный элемент обычно обозначается 1, а обратный элемент к x — как x⁻¹. В умножающей группе символ операции обычно опускается, так что операция обозначается просто сопоставлением, то есть ab вместо a⋅b. Определение группы не требует, чтобы a⋅b = b⋅a для всех элементов a и b из G. Если это дополнительное условие выполняется, то операция называется коммутативной, а группа — абелевой. Общепринято, что для абелевой группы может использоваться как аддитивная, так и мультипликативная нотация, но для неабелевой группы используется только мультипликативная нотация. Существует несколько других обозначений, обычно используемых для групп, элементы которых не являются числами. Для группы, элементы которой являются функциями, операция часто представляет собой композицию функций f∘g; тогда нейтральный элемент может быть обозначен id. В более конкретных случаях геометрических групп преобразований, групп симметрии, групп перестановок и групп автоморфизмов символ операции часто опускается, как и для умножающих групп. Можно встретить множество других вариантов обозначений.

История

Современная концепция абстрактной группы развилась из нескольких областей математики. Первоначальным стимулом для теории групп был поиск решений полиномиальных уравнений степени выше 4. Французский математик XIX века Эварист Галуа, развивая предыдущие работы Паоло Руффини и Жозефа Луи Лагранжа, дал критерий разрешимости конкретного полиномиального уравнения с точки зрения группы симметрии его корней (решений). Элементы такой группы Галуа соответствуют определенным перестановкам корней. Идеи Галуа поначалу были отвергнуты современниками и опубликованы лишь посмертно. Более общие группы перестановок исследовались, в частности, Огюстеном Луи Коши. В работе Артура Кейли «О теории групп, как зависящей от символического уравнения» (1854) дано первое абстрактное определение конечной группы. Геометрия стала второй областью, в которой группы использовались систематически, особенно группы симметрии в рамках эрлангенской программы Феликса Клейна 1872 года. После появления новых геометрий, таких как гиперболическая и проективная геометрия, Клейн использовал теорию групп для их более последовательной организации. Дальнейшее развитие этих идей привело к тому, что Софус Ли основал изучение групп Ли в 1884 году. Третьей областью, внесшей вклад в теорию групп, была теория чисел. Определенные структуры абелевых групп использовались неявно в числовых работах Карла Фридриха Гаусса «Disquisitiones Arithmeticae» (1798), а более явно — Леопольдом Кронекером. В 1847 году Эрнст Куммер предпринял первые попытки доказать последнюю теорему Ферма, разработав группы, описывающие разложение на простые множители. Объединение этих различных источников в единую теорию групп началось с «Трактата о подстановках и алгебраических уравнениях» Камиля Жордана (1870). Вальтер фон Дик (1882) ввел идею задания группы посредством образующих и соотношений, а также впервые дал аксиоматическое определение «абстрактной группы» в терминологии того времени. С начала XX века группы получили широкое признание благодаря новаторским работам Фердинанда Георга Фробениуса и Уильяма Бернсайда (работавшего над теорией представлений конечных групп), модульной теории представлений Ричарда Брауэра и трудам Иссая Шура. Теория групп Ли и, в более общем смысле, локально компактных групп изучалась Германом Вейлем, Эли Картаном и многими другими. Ее алгебраический аналог, теория алгебраических групп, впервые была сформирована Клодом Шевали (с конца 1930-х годов), а затем работами Арманда Бореля и Жака Тица. Год теории групп в Чикагском университете 1960–61 годов объединил теоретиков групп, таких как Даниэль Горенштейн, Джон Г. Томпсон и Уолтер Фейт, заложив основу сотрудничества, которое, с участием многих других математиков, привело к классификации конечных простых групп, финальный шаг в которой был сделан Ашбахером и Смитом в 2004 году. Этот проект превзошел предыдущие математические усилия как по объему доказательств, так и по числу исследователей. Исследования, связанные с этим доказательством классификации, продолжаются. Теория групп остается весьма активной областью математики, оказывающей влияние на многие другие области, что иллюстрируют приведенные ниже примеры.

Элементарные последствия групповых аксиомов

Основные факты обо всех группах, которые можно непосредственно получить из аксиом группы, обычно объединяются в элементарную теорию групп. Например, многократное применение аксиомы ассоциативности показывает, что однозначность распространяется и на более чем три множителя. Поскольку это означает, что скобки можно вставлять в любом месте в последовательности таких элементов, скобки обычно опускают.

Уникальность элемента идентичности

Групповые аксиомы подразумевают, что нейтральный элемент единственен; то есть существует только один нейтральный элемент: любые два нейтральных элемента *e* и *f* группы равны, поскольку групповые аксиомы подразумевают *e* = *f* = *e* ⋅ *f* = *f*. Таким образом, принято говорить о нейтральном элементе группы.

Уникальность инверсов

Групповые аксиомы также подразумевают, что обратный элемент для каждого элемента уникален: пусть элемент группы имеет как и в качестве обратных. Тогда

Следовательно, принято говорить об обратном элементе.

Отделение

Учитывая элементы a и b группы G, существует единственное решение x уравнения a ⋅ x = b, а именно x = a⁻¹ ⋅ b. Следовательно, для каждого a ∈ G функция, отображающая каждый элемент x ∈ G в элемент a ⋅ x, является биекцией; она называется левым умножением на a или левым сдвигом на a. Аналогично, при данных элементах a и b, единственным решением уравнения x ⋅ a = b является x = b ⋅ a⁻¹. Для каждого a ∈ G функция, отображающая каждый элемент x ∈ G в элемент x ⋅ a, является биекцией, называемой правым умножением на a или правым сдвигом на a.

Основные понятия

При изучении множеств используются такие понятия, как подмножество, функция и фактормножество по отношению эквивалентности. При изучении групп вместо этого используются подгруппы, гомоморфизмы и факторгруппы. Это аналоги, учитывающие групповую структуру.

Гомоморфизмы группы

Групповые гомоморфизмы — это функции, сохраняющие структуру группы; они могут использоваться для установления связи между двумя группами. Гомоморфизм из группы G в группу H — это функция φ, такая что

Естественно потребовать также, чтобы φ сохраняла нейтральные элементы, то есть φ(1G) = 1H, и обратные элементы, то есть φ(g⁻¹) = (φ(g))⁻¹ для всех g из G. Однако эти дополнительные требования не обязательно включать в определение гомоморфизмов, поскольку они уже вытекают из требования сохранения групповой операции. Идентичный гомоморфизм группы G — это гомоморфизм, отображающий каждый элемент группы G в самого себя. Обратным гомоморфизмом к гомоморфизму φ является гомоморфизм ψ, такой что φ ∘ ψ = idH и ψ ∘ φ = idG, то есть ψ(φ(g)) = g для всех g из G и φ(ψ(h)) = h для всех h из H. Изоморфизм — это гомоморфизм, имеющий обратный гомоморфизм; эквивалентно, это биективный гомоморфизм. Группы G и H называются изоморфными, если существует изоморфизм φ: G → H. В этом случае группу G можно получить из группы H, просто переименовав её элементы в соответствии с функцией φ; тогда любое утверждение, истинное для G, будет истинно и для H, при условии, что любые конкретные элементы, упомянутые в утверждении, также будут переименованы. Совокупность всех групп вместе с гомоморфизмами между ними образует категорию, категорию групп. Инъективный гомоморфизм φ раскладывается канонически как изоморфизм, за которым следует включение, φ = i ∘ α, где i — включение некоторой подгруппы H в G. Инъективные гомоморфизмы являются мономорфизмами в категории групп.

Подгруппы

Неформально, подгруппа – это группа, содержащаяся в большей группе, 1= G: она имеет подмножество элементов 1= G с той же операцией. Конкретно это означает, что нейтральный элемент должен содержаться в 1= H, и если и оба принадлежат 1= H, то и 1= h 1^{ -1} также принадлежит 1= H, таким образом, элементы 1= H, снабженные групповой операцией на 1= G, ограниченной 1= H, действительно образуют группу. В этом случае отображение включения является гомоморфизмом. В примере симметрий квадрата, нейтральный элемент и вращения составляют подгруппу 1= R = {id, r1, r2, r3}, выделенную красным цветом в таблице Кейли примера: композиция любых двух вращений является вращением, и каждое вращение можно обратить (то есть, является обратным) к соответствующему вращению: 270° для 90°, 180° для 180° и 90° для 270°. Критерий подгруппы предоставляет необходимое и достаточное условие для того, чтобы непустое подмножество 1= H группы 1= G было подгруппой: достаточно проверить, что для всех элементов и в 1= H. Знание подгрупп группы важно для понимания группы в целом. Для любого подмножества 1= S группы 1= G, подгруппа, порожденная 1= S, состоит из всех произведений элементов 1= S и их обратных. Это наименьшая подгруппа, содержащая 1= S. В примере симметрий квадрата, подгруппа, порожденная и , состоит из этих двух элементов, нейтрального элемента id, и элемента f(h) = f(v) ⋅ r2. Опять же, это подгруппа, поскольку объединение любых двух из этих четырех элементов или их обратных (которые в данном конкретном случае являются теми же элементами) дает элемент этой подгруппы.

Козеты

Во многих ситуациях желательно считать два элемента группы одинаковыми, если они отличаются элементом данной подгруппы. Например, в группе симметрии квадрата, после выполнения какого-либо отражения, одни лишь вращения не могут вернуть квадрат в исходное положение, поэтому можно рассматривать отраженные положения квадрата как все эквивалентные друг другу и неэквивалентные неотраженным положениям; операции вращения несущественны для вопроса о том, было ли выполнено отражение. Косеты используются для формализации этого понимания: подгруппа определяет левые и правые косеты, которые можно рассматривать как сдвиги подгруппы на произвольный элемент группы g. В символическом виде левые и правые косеты H, содержащие элемент g, являются левыми косетами любой подгруппы, образующими разбиение G; то есть, объединение всех левых косетов равно G, и два левых косета либо равны, либо имеют пустое пересечение. Первый случай наступает тогда и только тогда, когда g⁻¹g₂ ∈ H, то есть, когда два элемента отличаются элементом из H. Аналогичные соображения применимы к правым косетам H. Левые косеты подгруппы могут совпадать с ее правыми косетами. Если они совпадают (то есть, если для всех g из H выполняется gH = Hg), то подгруппа называется нормальной. В D₄, группе симметрий квадрата, с ее подгруппой R вращений, левые косеты равны R, если элемент принадлежит R, и в противном случае равны (выделено зеленым в таблице Кейли D₄). Подгруппа R нормальна, потому что g⁻¹Rg ∈ R, и аналогично для других элементов группы. (На самом деле, в случае D₄, косеты, порожденные отражениями, все равны: fₕR = fᵥR = f𝒹R = f𝒸R.)

Презентации

Каждая группа изоморфна некоторому факторгруппе свободной группы, и существует множество способов это сделать. Например, диэдрическая группа порождается правым вращением и отражением относительно вертикальной прямой (каждый элемент является конечным произведением копий этих элементов и их обратных). Следовательно, существует сюръективный гомоморфизм φ из свободной группы на двух образующих в диэдрическую группу, отображающий r в r и f в f. Элементы r⁴, f², (r⋅f)² называются соотношениями. Фактически, оказывается, что это наименьшая нормальная подгруппа, содержащая эти три элемента; другими словами, все соотношения являются следствиями этих трех. Факторгруппа свободной группы по этой нормальной подгруппе обозначается ⟨r, f | r⁴ = f² = (r⋅f)² = 1⟩. Это называется представлением группы своими образующими и соотношениями, поскольку первая теорема об изоморфизмах для φ дает изоморфизм ⟨r, f | r⁴ = f² = (r⋅f)² = 1⟩ ≅ D₄.

Представление группы можно использовать для построения графа Кэли – графического представления дискретной группы.

Примеры и применения

Примеры и применения групп многочисленны. Отправной точкой является группа целых чисел с операцией сложения, введенная выше. Если вместо сложения рассматривать умножение, получаются мультипликативные группы. Эти группы являются предшественниками важных построений в абстрактной алгебре. Группы также применяются во многих других областях математики. Математические объекты часто исследуются путем установления соответствия между ними и группами, а также изучением свойств соответствующих групп. Например, Анри Пуанкаре заложил основы того, что сейчас называется алгебраической топологией, введя фундаментальную группу. Благодаря этой связи топологические свойства, такие как близость и непрерывность, преобразуются в свойства групп. Элементы фундаментальной группы топологического пространства являются классами эквивалентности петель, при этом петли считаются эквивалентными, если одну можно плавно деформировать в другую, а групповой операцией является «конкатенация» (последовательное прохождение по одной петле, а затем по другой). Например, как показано на рисунке, если топологическое пространство представляет собой плоскость с удаленной одной точкой, то петли, не обходящие удаленную точку (синие), могут быть плавно стянуты в точку и являются нейтральным элементом фундаментальной группы. Петля, обходящая удаленную точку *k* раз, не может быть деформирована в петлю, обходящую ее *m* раз (при 1 = m ≠ k), поскольку петлю нельзя плавно деформировать через отверстие, поэтому каждый класс петель характеризуется своим числом обвитий вокруг удаленной точки. Полученная группа изоморфна группе целых чисел относительно операции сложения. В более поздних приложениях влияние также было обращено, чтобы использовать группотеоретические представления для обоснования геометрических построений. В том же духе геометрическая теория групп использует геометрические понятия, например, при изучении гиперболических групп. К другим важным областям применения групп относятся алгебраическая геометрия и теория чисел. Помимо вышеупомянутых теоретических приложений, существует множество практических применений групп. Криптография опирается на сочетание абстрактного подхода теории групп и алгоритмических знаний, полученных в вычислительной теории групп, особенно при реализации для конечных групп. Области применения теории групп не ограничиваются математикой; науки, такие как физика, химия и информатика, также извлекают пользу из этой концепции.

Число

Многие системы чисел, такие как целые и рациональные числа, обладают естественной групповой структурой. В некоторых случаях, например, для рациональных чисел, операции сложения и умножения порождают групповые структуры. Эти системы чисел являются предшественниками более общих алгебраических структур, известных как кольца и поля. Более абстрактные алгебраические понятия, такие как модули, векторные пространства и алгебры, также формируют группы.

Целые числа

Группа целых чисел относительно сложения, обозначаемая как (ℤ, +), была описана выше. Целые числа с операцией умножения вместо сложения не образуют группу. Аксиомы ассоциативности и наличие нейтрального элемента выполняются, но обратные элементы не существуют: например, 2 – целое число, но единственным решением уравнения 2 * b = 1 в этом случае является b = 1/2, которое является рациональным числом, но не целым. Следовательно, не для каждого элемента из ℤ существует (мультипликативный) обратный элемент.

Модульная арифметика

Модульная арифметика для модуля *n* определяет любые два элемента *a* и *b*, различающиеся на кратное *n*, как эквивалентные, что обозначается как *a ≡ b (mod n)*. Каждое целое число эквивалентно одному из целых чисел от 0 до *n-1*, а операции модульной арифметики модифицируют обычную арифметику, заменяя результат любой операции его эквивалентным представителем. Модульное сложение, определенное таким образом для целых чисел от 0 до *n-1*, образует группу, обозначаемую как (*Z/nZ*, +) или (ℤ/*n*ℤ, +), с 0 как нейтральным элементом и *n-a* как обратным элементом к *a*.

Хорошо знакомым примером является сложение часов на циферблате, где 12, а не 0, выбирается в качестве представителя нейтрального элемента. Если часовая стрелка находится на 7 и продвигается на 5 часов, она окажется на 12, как показано на иллюстрации. Это выражается тем, что 7 сравнимо с 12 по модулю 12, или, в символах, 7 ≡ 12 (mod 12).

Для любого простого числа *p* существует также мультипликативная группа целых чисел по модулю *p*. Ее элементы могут быть представлены числами от 1 до *p-1*. Операция группы, умножение по модулю *p*, заменяет обычное произведение его представителем – остатком от деления на *p*. Например, для *p* = 5 четыре элемента группы могут быть представлены числами 1, 2, 3, 4. В этой группе 4 ⋅ 4 ≡ 1 (mod 5), поскольку обычное произведение 16 эквивалентно 1: при делении на 5 оно дает остаток 1. Простота *p* гарантирует, что обычное произведение двух представителей не делится на *p*, и, следовательно, модульное произведение отлично от нуля. Нейтральный элемент представлен 1, а ассоциативность следует из соответствующего свойства целых чисел. Наконец, аксиома обратного элемента требует, чтобы для любого целого числа *a*, не делящегося на *p*, существовало целое число *b* такое, что *a ⋅ b ≡ 1 (mod p)*, то есть, чтобы *a ⋅ b* делилось на *p* с остатком 1. Обратное *b* можно найти, используя тождество Безу и тот факт, что наибольший общий делитель *a* и *p* равен 1. В приведенном выше случае обратным элементом, представленным 4, является элемент, представленный 4, а обратным элементом, представленным 3, является элемент, представленный 2, поскольку 3 ⋅ 2 = 6 ≡ 1 (mod 5). Следовательно, все аксиомы группы выполнены. Этот пример аналогичен предыдущему: он состоит ровно из тех элементов в кольце ℤ/*p*ℤ, которые имеют мультипликативный обратный элемент. Эти группы, обозначаемые как 𝔽*p*, имеют решающее значение для криптографии с открытым ключом.

Циклические группы

Циклическая группа — это группа, все элементы которой являются степенями определенного элемента. В мультипликативной нотации элементы группы обозначаются как 1=a⋅a, где 1=a¹⋅a¹⋅a¹=(a⋅a⋅a)¹ и т. д. Такой элемент называется генератором или примитивным элементом группы. В аддитивной нотации требование к элементу, чтобы быть примитивным, состоит в том, что каждый элемент группы может быть записан как . В группах, представленных выше, элемент является примитивным, поэтому эти группы являются циклическими. Действительно, каждый элемент выражается как сумма, все члены которой равны 1. Любая циклическая группа с элементами изоморфна этой группе. Вторым примером циклических групп является группа n-го комплексного корня из единицы, заданная комплексными числами, удовлетворяющими 1=zⁿ=1. Эти числа можно визуализировать как вершины правильного n-угольника, как показано синим цветом на изображении для n=6. Операция группы — умножение комплексных чисел. На рисунке умножение на соответствует вращению против часовой стрелки на 60°. Из теории поля известно, что группа является циклической для простых чисел p: например, если p=5, то 3 является генератором, поскольку 3¹=3, 3²=9≡4, 3³≡2 и 3⁴≡1. Некоторые циклические группы имеют бесконечное число элементов. В этих группах для каждого ненулевого элемента a все степени a различны; несмотря на название «циклическая группа», степени элементов не образуют цикл. Бесконечная циклическая группа изоморфна (ℤ, +), группе целых чисел относительно сложения, представленной выше. Поскольку эти два прототипа являются абелевыми, то и все циклические группы абелевы. Изучение конечно порожденных абелевых групп достаточно развито, включая фундаментальную теорему о конечно порожденных абелевых группах; и, отражая это положение дел, многие понятия, связанные с группами, такие как центр и коммутатор, описывают степень, в которой данная группа не является абелевой.

Группы симметрии

Группы симметрии — это группы, состоящие из симметрий заданных математических объектов, преимущественно геометрических сущностей, таких как группа симметрии квадрата, приведенная выше в качестве вводного примера, хотя они также возникают в алгебре, например, в симметриях между корнями полиномиальных уравнений, рассматриваемых в теории Галуа (см. ниже). Концептуально, теория групп может рассматриваться как изучение симметрии. Симметрии в математике значительно упрощают изучение геометрических или аналитических объектов. Говорят, что группа действует на другой математический объект X, если каждому элементу группы можно сопоставить некоторое преобразование X, а композиция этих преобразований подчиняется закону группы. Например, элемент треугольной группы (2,3,7) действует на треугольную мозаику гиперболической плоскости, переставляя треугольники. Групповое действие связывает структуру группы со структурой объекта, на который она действует. В химии точечные группы описывают молекулярные симметрии, а пространственные группы — симметрии кристаллов в кристаллографии. Эти симметрии определяют химическое и физическое поведение этих систем, а теория групп позволяет упростить квантовомеханический анализ этих свойств. Например, с помощью теории групп можно показать, что оптические переходы между определенными квантовыми уровнями невозможны из-за симметрии вовлеченных состояний. Теория групп помогает предсказывать изменения физических свойств при фазовом переходе материала, например, из кубической в тетраэдрическую кристаллическую форму. Примером служат ферроэлектрические материалы, где переход из параэлектрического состояния в ферроэлектрическое происходит при температуре Кюри и связан с изменением симметрии от параэлектрического состояния высокой симметрии к ферроэлектрическому состоянию низкой симметрии, сопровождаемым так называемым мягким фононом — колебательным модным режимом решетки, стремящимся к нулевой частоте при переходе. Такое спонтанное нарушение симметрии нашло дальнейшее применение в физике элементарных частиц, где оно связано с появлением бозонов Голдстоуна. Бакминстерфуллерен демонстрирует икосаэдрическую симметрию. Аммиак, NH3. Его группа симметрии имеет порядок 6 и порождается вращением на 120° и отражением. Кубан C8H8 обладает октаэдрической симметрией. Ион тетрахлороплатината(II) [PtCl4]2− имеет плоскоквадратную геометрию.

Конечные группы симметрии, такие как группы Матье, используются в теории кодирования, которая, в свою очередь, применяется для исправления ошибок при передаче данных и в CD-плеерах. Другое применение — дифференциальная теория Галуа, которая характеризует функции, имеющие антипроизводные заданного вида, предоставляя группово-теоретические критерии для того, когда решения определенных дифференциальных уравнений хорошо определены. Геометрические свойства, сохраняющиеся при групповых действиях, исследуются в (геометрической) инвариантной теории.

Общая теория линейных групп и представлений

Группы матриц состоят из матриц вместе с операцией матричного умножения. Общая линейная группа состоит из всех невырожденных матриц размера n x n с вещественными элементами. Ее подгруппы называются матричными группами или линейными группами. Пример диэдрической группы, упомянутый выше, можно рассматривать как (очень малую) матричную группу. Другая важная матричная группа — специальная ортогональная группа SO(n). Она описывает все возможные вращения в n-мерном пространстве. Матрицы вращения в этой группе используются в компьютерной графике. Теория представлений является одновременно применением концепции группы и важным инструментом для более глубокого понимания групп. Она изучает группу посредством ее действий на другие пространства. Широкий класс представлений групп — это линейные представления, в которых группа действует на векторное пространство, например, на трехмерное евклидово пространство R³. Представление группы на n-мерном вещественном векторном пространстве — это просто групповой гомоморфизм из группы в общую линейную группу. Таким образом, групповая операция, которая может быть задана абстрактно, сводится к умножению матриц, что делает ее доступной для явных вычислений. Групповое действие предоставляет дополнительные средства для изучения объекта, на который оно направлено. С другой стороны, оно также дает информацию о самой группе. Представления групп являются организующим принципом в теории конечных групп, групп Ли, алгебраических групп и топологических групп, особенно (локально) компактных групп.

Группы Галуа

Группы Галуа были разработаны для решения полиномиальных уравнений, позволяя выявить их симметрию. Например, решения квадратного уравнения задаются формулой: каждое решение можно получить, заменяя знак + на - или наоборот; аналогичные формулы известны для кубических и квартичных уравнений, но не существуют в общем случае для уравнений степени 5 и выше. В формуле для квадратного уравнения изменение знака (перестановка двух полученных решений) можно рассматривать как (очень простую) групповую операцию. Аналогичные группы Галуа действуют на решения полиномиальных уравнений более высокой степени и тесно связаны с существованием формул для их решения. Абстрактные свойства этих групп (в частности, их разрешимость) дают критерий возможности выражения решений этих многочленов, используя только сложение, умножение и извлечение корней, подобно приведенной выше формуле. Современная теория Галуа обобщает описанный тип групп Галуа, переходя к теории полей и рассматривая расширения полей, образуемые как поле расщепления полинома. Эта теория устанавливает – посредством фундаментальной теоремы теории Галуа – точную связь между полями и группами, вновь подчеркивая повсеместность групп в математике.

Конечные абелевы группы

Любая конечная абелева группа изоморфна произведению конечных циклических групп; это утверждение является частью фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах. Любая группа простого порядка изоморфна циклической группе (следствие теоремы Лагранжа). Любая группа порядка *p*, где *p* – простое число, абелева, изоморфна либо Z<sub>*p*</sub>, либо Z<sub>*p*</sub> × Z<sub>*p*</sub>. Но существуют неабелевы группы порядка *p*<sup>2</sup>; диэдрическая группа порядка 2*p* является примером.

Простые группы

Когда группа имеет нормальную подгруппу, отличную от единичной и самой себя, вопросы о группе G иногда могут быть сведены к вопросам о подгруппе N и факторгруппе G/N. Нетривиальная группа называется простой, если она не имеет таких нормальных подгрупп. Конечные простые группы играют для конечных групп такую же роль, как простые числа для положительных целых чисел: они служат строительными блоками в смысле, точно определенном теоремой Жордана — Гёльдера.

Классификация конечных простых групп

Компьютерные алгебраические системы использовались для перечисления всех групп порядка до 2000. Однако классификация всех конечных групп считается задачей, слишком сложной для решения. Классификация всех конечных простых групп стала крупным достижением в современной теории групп. Существуют несколько бесконечных семейств таких групп, а также 26 "спорадических групп", которые не входят ни в одно из этих семейств. Самая большая спорадическая группа называется группой-монстром. Монструозные соответствия, доказанные Ричардом Борчердсом, связывают группу-монстр с определенными модулярными функциями. Проблема расширений является ключевым препятствием на пути к классификации всех групп после классификации простых групп.

Группы с дополнительной структурой

Эквивалентное определение группы состоит в замене части "существует" в аксиомах группы операциями, результатом которых является элемент, который должен существовать. Таким образом, группа – это множество, снабжённое бинарной операцией (групповой операцией), унарной операцией (предоставляющей обратный элемент) и нульарной операцией, не имеющей операндов и возвращающей нейтральный элемент. В остальном аксиомы группы остаются неизменными. Этот вариант определения позволяет избежать использования экзистенциальных кванторов и применяется при вычислениях с группами и в системах компьютерной проверки доказательств. Такой подход к определению групп способствует обобщениям, например, к понятию группового объекта в категории. По сути, это объект с морфизмами, воспроизводящими аксиомы группы.

Топологические группы

Некоторые топологические пространства могут быть наделены групповым законом. Чтобы групповой закон и топология согласованно взаимодействовали, групповые операции должны быть непрерывными функциями; неформально, и не должны резко изменяться, если и изменяются незначительно. Такие группы называются топологическими группами и являются групповыми объектами в категории топологических пространств. Наиболее простыми примерами являются группа вещественных чисел относительно сложения и группа ненулевых вещественных чисел относительно умножения. Аналогичные примеры можно построить для любого другого топологического поля, например, поля комплексных чисел или поля p-адических чисел. Эти примеры локально компактны, поэтому они имеют меры Гаара и могут изучаться методами гармонического анализа. К другим локально компактным топологическим группам относятся группы точек алгебраической группы над локальным полем или кольцом аделей; они фундаментальны для теории чисел. Группы Галуа бесконечных алгебраических расширений поля снабжены топологией Крулла, которая играет важную роль в бесконечной теории Галуа. Обобщением, используемым в алгебраической геометрии, является этальная фундаментальная группа.

Общие ссылки

Глава 2 содержит изложение понятий, рассматриваемых в данной статье, на уровне бакалавриата. , элементарное введение.

Специальные ссылки

Да .
Да .

Да .
Да .

Да .
Да .
Да .
Да .
Да .

Да .
Да .
Да .
Да .
Да .

Да .
Да .

Да .

Да .

Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .

Да .

Да .
Да .

Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .

Да .
Да .
Да .

Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .

Да .
Да .

Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .
Да .

Исторические ссылки

Да. (Труд Галуа был впервые опубликован Жозефом Лиувилем в 1843 году). Да.