Кіріспе
Өкілдік теориясы Математикада, Weyl таңба формуласы бейнелеу теориясында компактті Lie топтарының ең жоғары салмақтары бойынша азайтылмайтын бейнелеулерінің таңбаларын сипаттайды. Бұл дәлелденді: жартылай қарапайым Лай алгебрасының қайталанбайтын бейнелеуінің сипаты үшін тығыз байланысты формула бар. Вейлдің байланысқан компактты Лай топтарының бейнелеу теориясына деген көзқарасында таңба формуласын дәлелдеу әр басым интегралдық элемент шын мәнінде кейбір азайтылмайтын бейнелеудің ең жоғары салмағы ретінде пайда болатынын дәлелдеудегі негізгі қадам болып табылады. Характер формуласының маңызды салдары - Вейль өлшем формуласы және Костант көптік формуласы. Анықтама бойынша, G-дің бейнелеуінің сипаты - топ элементінің функциясы ретінде , бұл жағдайда қайталанбайтын бейнелеулер барлық шекті өлшемді (бұл Питер Вейл теоремасының бөлігі); сондықтан із ұғымы сызықтық алгебрадан әдеттегісі. сипатын білу өзі туралы көп мәлімет береді. Вейл формуласы G және оның Lie алгебрасынан құралған басқа объектілер тұрғысынан сипаттама үшін жабық формула болып табылады.
In mathematics, the Weyl character formula in representation theory describes the characters of irreducible representations of compact Lie groups in terms of their highest weights. It was proved by There is a closely related formula for the character of an irreducible representation of a semisimple Lie algebra. In Weyl's approach to the representation theory of connected compact Lie groups, the proof of the character formula is a key step in proving that every dominant integral element actually arises as the highest weight of some irreducible representation. Important consequences of the character formula are the Weyl dimension formula and the Kostant multiplicity formula. By definition, the character of a representation of G is the trace of , as a function of a group element The irreducible representations in this case are all finite dimensional (this is part of the Peter–Weyl theorem); so the notion of trace is the usual one from linear algebra. Knowledge of the character of gives a lot of information about itself. Weyl's formula is a closed formula for the character , in terms of other objects constructed from G and its Lie algebra.
Вейль таңба формуласының мәлімдемесі
Характер формуласы күрделі жартылай қарапайым Ли алгебраларының бейнелеуі немесе компактті Ли топтарының (асылы эквивалентті) бейнелеу теориясы тұрғысынан білдірілуі мүмкін.
Тұрақты көптік формуласы
Вейль таңбалық формуласы әр көріністің таңбасын үлестік ретінде береді, мұнда шанақ және атаушы экспоненциалдардың шекті сызықтық комбинациясы болып табылады. Бұл формула принципте таңбасын анықтайтын болса да, бұл үлесті экспоненциалдардың шекті қосындысы ретінде нақты қалай есептеуге болатыны айрықша анық емес. Жоғарыда сипатталған SU ((2) жағдайда, кейіпкерді экспоненциалдар қосындысы ретінде кейіпкердің формуласына қалай қайтару керектігі бірден анық емес: Бұл жағдайда өрнекті шекті геометриялық қатардың қосындысы ретінде тану өте қиын емес, бірақ жалпы алғанда бізге жүйелірек процедура қажет. Жалпы, бөлу процесін Вейль атаушының формалды керісін есептеу арқылы және Вейль таңбалы формуласындағы шамалыны осы формалды керісінше көбейту арқылы жасауға болады. Нәтиже таңбаны экспоненциалдардың шекті қосындысы ретінде береді. Бұл кеңею коэффициенттері салмақ кеңістіктерінің өлшемдері, яғни салмақтардың көбейтулері болып табылады. Осылайша Вейль таңбалы формуласынан салмақтардың көбейтулер формуласын, Костант көбейту формуласы деп аталады. Кейбір жағдайларда есептеу әдісімен қарастырылатын балама формула келесі бөлімде берілген.
In this case, it is perhaps not terribly difficult to recognize the expression as the sum of a finite geometric series, but in general we need a more systematic procedure. In general, the division process can be accomplished by computing a formal reciprocal of the Weyl denominator and then multiplying the numerator in the Weyl character formula by this formal reciprocal. The result gives the character as a finite sum of exponentials. The coefficients of this expansion are the dimensions of the weight spaces, that is, the multiplicities of the weights. We thus obtain from the Weyl character formula a formula for the multiplicities of the weights, known as the Kostant multiplicity formula. An alternative formula, that is more computationally tractable in some cases, is given in the next section.