Введение
Теория представления В математике формула характера Вейла в теории представления описывает символы неснижаемых представлений компактных групп Ли с точки зрения их наивысших весов. Это было доказано путем существует тесно связанная формула для характера необратимого представления полупростой алгебры Ли. В подходе Вейла к теории представления соединенных компактных групп Лай доказательство формулы символа является ключевым шагом в доказательстве того, что каждый доминирующий интегральный элемент фактически возникает как наивысший вес некоторого необратимого представления. Важными следствиями формулы символов являются формула измерения Вейла и формула множественности Костанта. По определению, характер представления G - это след , как функция элемента группы Нередуцируемые представления в этом случае все конечные измерения (это часть теоремы Питера Вейла); поэтому понятие следа является обычным из линейной алгебры. Знание характера дает много информации о себе. Формула Вейла - это замкнутая формула для символа, с точки зрения других объектов, построенных из G и его алгебры Лей.
In mathematics, the Weyl character formula in representation theory describes the characters of irreducible representations of compact Lie groups in terms of their highest weights. It was proved by There is a closely related formula for the character of an irreducible representation of a semisimple Lie algebra. In Weyl's approach to the representation theory of connected compact Lie groups, the proof of the character formula is a key step in proving that every dominant integral element actually arises as the highest weight of some irreducible representation. Important consequences of the character formula are the Weyl dimension formula and the Kostant multiplicity formula. By definition, the character of a representation of G is the trace of , as a function of a group element The irreducible representations in this case are all finite dimensional (this is part of the Peter–Weyl theorem); so the notion of trace is the usual one from linear algebra. Knowledge of the character of gives a lot of information about itself. Weyl's formula is a closed formula for the character , in terms of other objects constructed from G and its Lie algebra.
Формула характеристики Вейла
Формула символов может быть выражена в терминах представлений сложных полупростых алгебр Ли или в терминах (в основном эквивалентной) теории представлений компактных групп Ли.
Формула множественности констант
Формула знаков Вейла дает знак каждого представления как коэффициент, где числитель и знаменатель - это конечная линейная комбинация показателей. Хотя эта формула в принципе определяет характер, не особенно очевидно, как можно рассчитать этот коэффициент явно как конечную сумму экспоненциалов. Уже в случае SU{2) описанном выше, не сразу очевидно, как перейти от формулы символа Вейла, которая дает знак как обратно к формуле для символа как сумма экспоненциалов: В этом случае, возможно, не очень трудно распознать выражение как сумму конечного геометрического ряда, но в целом нам нужна более систематическая процедура. В общем, процесс деления может быть выполнен путем вычисления формального обратного знаменателя Вейла, а затем умножения числителя в формуле знака Вейла на этот формальный обратный. Результат дает знак как конечную сумму экспоненциалов. Коэффициенты этого расширения - это размеры пространств весов, то есть множественность весов. Таким образом, из формулы характера Вейла мы получаем формулу множественности весов, известную как формула множественности Костанта. В следующем разделе приведена альтернативная формула, которая в некоторых случаях более поддается вычислению.
In this case, it is perhaps not terribly difficult to recognize the expression as the sum of a finite geometric series, but in general we need a more systematic procedure. In general, the division process can be accomplished by computing a formal reciprocal of the Weyl denominator and then multiplying the numerator in the Weyl character formula by this formal reciprocal. The result gives the character as a finite sum of exponentials. The coefficients of this expansion are the dimensions of the weight spaces, that is, the multiplicities of the weights. We thus obtain from the Weyl character formula a formula for the multiplicities of the weights, known as the Kostant multiplicity formula. An alternative formula, that is more computationally tractable in some cases, is given in the next section.