Кіріспе
Рационалдардағы 1-ден жоғары родтағы қисықтарда шекті ғана рационалды нүктелер болады.
Фалтингс теоремасы – арифметикалық геометрияның бір нәтижесі. Оған сәйкес, рационал сандар өрісіндегі 1-ден жоғары родтағы қисықтың рационалды нүктелері саны шекті ғана болады. Бұл болжамды 1922 жылы Луис Морделл айтқан, ал Герд Фалтингс 1983 жылы дәлелдегенге дейін Морделл болжамы деп аталды. Кейін бұл болжам кез келген сан өрісімен алмастыру арқылы жалпыланды.
Өмірбаян
Let be a non-singular algebraic curve of genus over Then the set of rational points on may be determined as follows:
When , there are either no points or infinitely many. In such cases, may be handled as a conic section. When , if there are any points, then is an elliptic curve and its rational points form a finitely generated abelian group. (This is Mordell's Theorem, later generalized to the Mordell–Weil theorem.) Moreover, Mazur's torsion theorem restricts the structure of the torsion subgroup. When , according to Faltings's theorem, has only a finite number of rational points.
When , there are either no points or infinitely many. In such cases, may be handled as a conic section. When , if there are any points, then is an elliptic curve and its rational points form a finitely generated abelian group. (This is Mordell's Theorem, later generalized to the Mordell–Weil theorem.) Moreover, Mazur's torsion theorem restricts the structure of the torsion subgroup. When , according to Faltings's theorem, has only a finite number of rational points.
Алгебралық қисық сингуляр емес түр болсын. Содан кейін қисық бойындағы рационалдық нүктелер жиыны келесідей анықталады: егер , онда нүктелердің саны жоқ немесе шексіз көп болуы мүмкін. Мұндай жағдайларда оны конус қимасы ретінде қарастыруға болады. Егер , және егер нүктелер болса, онда қисық эллиптік қисық болады және оның рационалдық нүктелері шекті түрде туындаған абельдік топ құрайды. (Бұл Морделл теоремасы, кейін Морделл-Вейл теоремасы деп жалпыланды.) Сонымен қатар, Мазурдың бұрылу теоремасы бұрылу кіші тобының құрылымын шектейді. Егер , онда Фальтингс теоремасына сәйкес, қисықта тек шекті санда ғана рационалдық нүктелер болады.
When , there are either no points or infinitely many. In such cases, may be handled as a conic section. When , if there are any points, then is an elliptic curve and its rational points form a finitely generated abelian group. (This is Mordell's Theorem, later generalized to the Mordell–Weil theorem.) Moreover, Mazur's torsion theorem restricts the structure of the torsion subgroup. When , according to Faltings's theorem, has only a finite number of rational points.
Дәлелдендіру
Игорь Шафаревич белгілі бір шекті орын жиынтығынан тыс жақсы редукцияланатын, белгілі бір сандық өрістегі, берілген өлшемді және берілген поляризация дәрежесіндегі абельдік сорттардың изоморфизм кластарының саны шекті екенін болжады. Алексей Паршин қазір Паршиннің айласы деп аталатын әдіс арқылы Шафаревичтің шектілік болжамы Морделл болжамын білдіретінін көрсетті. Герд Фальтингс Шафаревичтің шектілік болжамын Тейт болжамының белгілі бір жағдайына келтіру және алгебралық геометрия құралдарын, оның ішінде Нерон модельдерінің теориясын қолдану арқылы дәлелдеді. Фальтингстің дәлелінің негізгі идеясы – Сигел модульді сорттары арқылы Фалтингс биіктіктерін және қарапайым биіктіктерді салыстыру.
Кейінгі дәлелдемелер
Пауль Войта диофантиандық жуықтау негізінде дәлел келтірді. Энрико Бомбиери Войтаның дәлелінің оңайрақ түрін тапты. Брайан Лоуренс пен Аксхай Венкатеш p-адық Ходж теориясына негізделген дәлел ұсынды, сонымен қатар Фалтингстің бастапқы дәлелінің қарапайым элементтерін де пайдаланды.
Жалпылау
Морделл–Вейль теоремасының арқасында Фальтингс теоремасын қисық пен абельдік түрдің шекті түрде құрылған кіші тобының қиылысы туралы мәлімдеме ретінде қайта тұжырымдауға болады. Жартылай абельдік түрді , кез келген кіші түрлікті мен кез келген шекті рангілі кіші топты орнына қою арқылы жалпылау Морделл–Ланг болжамына алып келеді, оны 1995 жылы МакКвилан Лоран, Рейно, Хиндри, Войта және Фальтингс еңбектерінің нәтижесінде дәлелдеді. Фалтингс теоремасының тағы бір жоғары өлшемді жалпылауы – Бомбиери–Ланг болжамы, егер сандық өріс үстінде псевдоканондық түрлілік (яғни, жалпы типтегі түрлілік) болса, онда Зариски тығыз болмайды. Пол Войта одан да жалпылама болжамдар ұсынды. Функциялық өрістер үшін Морделл болжамын Юрий Иванович Манин мен Ханс Грауерт дәлелдеді. 1990 жылы Роберт Ф. Коулман Маниннің дәлеліндегі қателікті тауып, түзетті.