Введение

В теории чисел, мера не единственной факторизации.

В теории чисел, идеальная группа классов (или группа классов) алгебраического поля чисел K является факторгруппой JK/PK, где JK – группа дробных идеалов кольца целых чисел K, а PK – её подгруппа главных идеалов. Группа классов является мерой степени нарушения единственности факторизации в кольце целых чисел K. Порядок группы, который конечен, называется числом классов K.

Теория распространяется на области Дедекинда и их поля частных, для которых мультипликативные свойства тесно связаны со структурой группы классов. Например, группа классов области Дедекинда тривиальна тогда и только тогда, когда кольцо является областью однозначной факторизации.

История и происхождение идеальной классовой группы

Идеальные классовые группы (или, точнее, то, что фактически являлось идеальными классовыми группами) изучались за некоторое время до формулирования понятия идеала. Эти группы возникли в теории квадратичных форм: в случае бинарных интегральных квадратичных форм, приведенных Карлом Фридрихом Гауссом к виду, близкому к окончательному, был определен закон композиции на определенных классах эквивалентности форм. Это дало конечную абелеву группу, что было осознано в то время. Позже Эрнст Куммер работал над теорией циклотомических полей. Было установлено (вероятно, несколькими исследователями), что невозможность завершить доказательства в общем случае последней теоремы Ферма путем факторизации с использованием корней из единицы была вызвана серьезной причиной: нарушение единственности разложения на множители – то есть, фундаментальной теоремы арифметики – в кольцах, порожденных этими корнями из единицы, являлось существенным препятствием. Впервые в работах Куммера появилось исследование этого препятствия к факторизации. Сейчас мы рассматриваем это как часть идеальной классовой группы: фактически Куммер выделил p-кручение в этой группе для поля p-го корня из единицы, для любого простого числа p, как причину неудачи стандартного подхода к проблеме Ферма (см. регулярные простые числа). Вскоре после этого Рихард Дедекинд сформулировал понятие идеала, в то время как Куммер работал другим способом. На этом этапе существующие примеры удалось объединить. Было показано, что хотя кольца алгебраических целых чисел не всегда допускают единственное разложение на простые множители (поскольку они не обязаны быть областями главных идеалов), они обладают свойством, что каждый собственное идеальное число допускает единственное разложение в произведение простых идеалов (то есть каждое кольцо алгебраических целых чисел является областью Дедекинда). Размер идеальной классовой группы можно рассматривать как меру отклонения кольца от области главных идеалов; кольцо является областью главных идеалов тогда и только тогда, когда его идеальная классовая группа тривиальна.

Определение

Если R – интегральная область, определим отношение ~ на ненулевых дробных идеалах R следующим образом: I ~ J, если существуют ненулевые элементы a и b из R, такие что (a)I = (b)J. (Здесь обозначение (a) означает главный идеал R, состоящий из всех кратных a.) Легко показать, что это отношение эквивалентности. Классы эквивалентности называются классами идеалов R. Классы идеалов можно перемножать: если [I] обозначает класс эквивалентности идеала I, то умножение [I][J] = [IJ] определено корректно и коммутативно. Главные идеалы образуют класс идеалов [R], который служит единичным элементом для этого умножения. Таким образом, класс [I] имеет обратный [J] тогда и только тогда, когда существует идеал J, такой что IJ является главным идеалом. В общем случае, такой J может не существовать, и, следовательно, множество классов идеалов R может быть лишь моноидом. Однако, если R является кольцом алгебраических целых в алгебраическом числовом поле, или, в более общем случае, областью Дедекинда, то определенное выше умножение превращает множество дробных классов идеалов в абелеву группу, группу классов идеалов R. Свойство группы, заключающееся в существовании обратных элементов, легко вытекает из того факта, что в области Дедекинда каждый ненулевой идеал (за исключением R) является произведением простых идеалов.

Свойства

Идеальная классная группа тривиальна (то есть имеет только один элемент), если и только если все идеалы R являются главными. В этом смысле, идеальная классная группа измеряет, насколько R далека от того, чтобы быть областью главных идеалов, и, следовательно, от удовлетворения единственности разложения на простые множители (области Дедекинда являются областями единственной факторизации, если и только если они являются областями главных идеалов). Число идеальных классов (число класса R) может быть бесконечным в общем случае. Фактически, каждая абелева группа изоморфна идеальной классной группе некоторой области Дедекинда. Но если R – кольцо алгебраических целых, то число класса всегда конечно. Это один из основных результатов классической алгебраической теории чисел. Вычисление классной группы в общем случае является сложной задачей; его можно выполнить вручную для кольца целых чисел в алгебраическом числовом поле с малым дискриминантом, используя границу Минковского. Этот результат даёт границу, зависящую от кольца, такую, что каждый идеальный класс содержит идеал с нормой, меньшей этой границы. В общем случае, граница недостаточно точна, чтобы сделать вычисление практичным для полей с большим дискриминантом, но компьютеры хорошо подходят для этой задачи. Отображение из колец целых чисел R в их соответствующие классные группы является функториальным, и классная группа может быть рассмотрена в рамках алгебраической K-теории, где K₀(R) – это функтор, сопоставляющий R его идеальную классную группу; точнее, K₀(R) = Z × C(R), где C(R) – классная группа. Более высокие K-группы также могут быть использованы и интерпретированы арифметически в связи с кольцами целых чисел.

Отношение к группе единиц

Выше было отмечено, что группа классов идеалов дает часть ответа на вопрос о том, насколько идеалы в области Дедекинда ведут себя как элементы. Другую часть ответа предоставляет группа единиц домена Дедекинда, поскольку переход от главных идеалов к их образующим требует использования единиц (и это также является основной причиной введения понятия дробного идеала).

Определим отображение из R× в множество всех ненулевых дробных идеалов R, сопоставляя каждому элементу главный (дробный) идеал, порожденный им. Это гомоморфизм групп; его ядро – группа единиц R, а коядро – группа классов идеалов R. Нетривиальность этих групп является мерой того, насколько отображение не является изоморфизмом: то есть, насколько идеалы не ведут себя как элементы кольца, другими словами, как числа.

Примеры идеальных классовых групп

Кольца Z, Z[ω] и Z[i], где ω — кубический корень из 1, а i — четвертый корень из 1 (то есть квадратный корень из −1), являются основными идеальными областями (и, более того, евклидовыми областями), и поэтому имеют число классов 1: то есть, их группы классов идеалов тривиальны. Если k — поле, то кольцо многочленов k[X1, X2, X3, ...] является целостным доменом. Оно имеет счетное бесконечное множество классов идеалов.

Номера классов квадратных полей

Если *d* является квадратным свободным целым числом (произведением различных простых чисел), отличным от 1, то ℚ(*d*) является квадратичным расширением ℚ. Если *d* < 0, то число класса кольца алгебраических целых чисел ℤ[*d*] равно 1 для следующих значений *d*: Этот результат был впервые предположен Гауссом и доказан Куртом Хегнером, хотя доказательство Хегнера не было признано до тех пор, пока Гарольд Старк не представил более позднее доказательство в 1967 году. (См. теорему Старка — Хегнера.) Это частный случай знаменитой проблемы о числе класса. Если, с другой стороны, *d* > 0, то неизвестно, существует ли бесконечно много полей ℚ(*d*) с числом класса 1. Вычислительные результаты указывают на то, что таких полей очень много. Однако даже не известно, существует ли бесконечно много числовых полей с числом класса 1. Для *d* < 0, группа идеальных классов поля ℚ(*d*) изоморфна группе классов интегральных бинарных квадратичных форм дискриминанта, равного дискриминанту *d*. Для *d* > 0, группа идеальных классов может быть вдвое меньше, поскольку группа классов интегральных бинарных квадратичных форм изоморфна узкой группе классов поля ℚ(*d*). Числа классов для вещественных квадратичных целочисленных колец приведены в OEIS A003649; для мнимого случая – в OEIS A000924.

Связь с теорией классовых полей

Теория классов поля — это раздел алгебраической теории чисел, который стремится классифицировать все абелевы расширения заданного алгебраического поля чисел, то есть расширения Галуа с абелевой группой Галуа. Особенно красивый пример можно найти в классовом поле Гильберта числового поля, которое можно определить как максимальное неразветвленное абелево расширение этого поля. Классовое поле Гильберта L числового поля K единственно и обладает следующими свойствами:

Каждый идеал кольца целых чисел K становится главным в L, то есть если I — интегральный идеал K, то образ I является главным идеалом в L.
L является расширением Галуа поля K с группой Галуа, изоморфной группе классов идеалов K.

Ни одно из этих свойств нелегко доказать.