Кіріспе
Векторлық дифференциалдық оператор – математикалық оператор, набла символымен белгіленеді. Дель, немесе набла, математикада (әсіресе векторлық есептеуде) векторлық дифференциалдық оператор ретінде қолданылады, әдетте набла символы ∇ арқылы бейнеленеді. Бір өлшемді доменде анықталған функцияға қолданғанда, ол функцияның стандартты туындысын, калькульда анықталғандай, көрсетеді. Өріске (көп өлшемді доменде анықталған функция) қолданғанда, қолдану тәсіліне байланысты үш операцияның кез келгенін білдіруі мүмкін: скаляр өрістің градиенті немесе (жергілікті) ең тік еңісі (немесе кейде векторлық өрістің, мысалы, Навье-Стокс теңдеулерінде); векторлық өрістің дивергенциясы; немесе векторлық өрістің роторы (айналуы). Дель – бұл үш операция (градиент, дивергенция және ротор) үшін өте ыңғайлы математикалық белгі, ол көптеген теңдеулерді жазуды және есте сақтауды жеңілдетеді. Дель символы (немесе набла) векторлық оператор ретінде анықталуы мүмкін, оның компоненттері тиісті дербес туынды операторлары болып табылады. Векторлық оператор ретінде ол скалярлық және векторлық өрістерде үш түрлі жолмен әрекет ете алады, бұл үш түрлі дифференциалдық операцияны тудырады: біріншіден, ол скалярлық өрістерде «формалды» скалярлық көбейту арқылы әрекет ете алады, нәтижесінде градиент деп аталатын векторлық өріс пайда болады; екіншіден, ол векторлық өрістерде «формалды» векторлық көбейтінді арқылы әрекет ете алады, нәтижесінде дивергенция деп аталатын скалярлық өріс пайда болады; және, соңында, ол векторлық өрістерде «формалды» векторлық көбейту арқылы әрекет ете алады, нәтижесінде ротор деп аталатын векторлық өріс пайда болады. Бұл «формалды» көбейтінділер міндетті түрде басқа операторлармен немесе көбейтінділермен коммутацияланбайды. Төменде егжей-тегжейлі сипатталған осы үш қолданыс: Градиент: Дивергенция: Ротор:
the mathematical operator represented by the nabla symbol
Del, or nabla, is an operator used in mathematics (particularly in vector calculus) as a vector differential operator, usually represented by the nabla symbol ∇. When applied to a function defined on a one dimensional domain, it denotes the standard derivative of the function as defined in calculus. When applied to a field (a function defined on a multi dimensional domain), it may denote any one of three operations depending on the way it is applied: the gradient or (locally) steepest slope of a scalar field (or sometimes of a vector field, as in the Navier–Stokes equations); the divergence of a vector field; or the curl (rotation) of a vector field. Del is a very convenient mathematical notation for those three operations (gradient, divergence, and curl) that makes many equations easier to write and remember. The del symbol (or nabla) can be formally defined as a vector operator whose components are the corresponding partial derivative operators. As a vector operator, it can act on scalar and vector fields in three different ways, giving rise to three different differential operations: first, it can act on scalar fields by a "formal" scalar multiplication—to give a vector field called the gradient; second, it can act on vector fields by a "formal" dot product—to give a scalar field called the divergence; and lastly, it can act on vector fields by a "formal" cross product—to give a vector field called the curl. These "formal" products do not necessarily commute with other operators or products. These three uses, detailed below, are summarized as:
Gradient:
Divergence:
Curl:
Нотациялық пайдалану
Del көптеген ұзын математикалық өрнектерді ықшамдау үшін қолданылатын қысқарту түрі болып табылады. Ол ең көп градиент, дивергенция, ротор, бағытты туынды және Лапласиан өрнектерін жеңілдету үшін қолданылады.
Гессен матрицасы
Көбінесе Лапласианды білдірсе, кейде Гессиан матрицасын да білдіруі мүмкін. Біріншісі – ішкі көбейтіндісін, ал екіншісі – диадты көбейтіндісін көрсетеді:
Демек, Лапласианды не Гессиан матрицасын білдіретіні контекстке байланысты.