Введение
Векторный дифференциальный оператор – математический оператор, представленный символом набла. Дель, или набла, – это оператор, используемый в математике (особенно в векторном исчислении) как векторный дифференциальный оператор, обычно представляемый символом набла ∇. При применении к функции, определенной в одномерной области, он обозначает стандартную производную функции, как это определено в математическом анализе. При применении к полю (функции, определенной на многомерной области), он может обозначать одну из трех операций в зависимости от способа применения: градиент или (локально) крутой подъем скалярного поля (или иногда векторного поля, как в уравнениях Навье — Стокса); дивергенцию векторного поля; или ротор (вихрь) векторного поля. Дель – очень удобное математическое обозначение для этих трех операций (градиент, дивергенция и ротор), которое упрощает запись и запоминание многих уравнений. Символ дель (или набла) может быть формально определен как векторный оператор, компоненты которого являются соответствующими операторами частных производных. Как векторный оператор, он может действовать на скалярные и векторные поля тремя различными способами, приводя к трем различным дифференциальным операциям: во-первых, он может действовать на скалярные поля посредством "формального" скалярного умножения, давая векторное поле, называемое градиентом; во-вторых, он может действовать на векторные поля посредством "формального" скалярного произведения, давая скалярное поле, называемое дивергенцией; и, наконец, он может действовать на векторные поля посредством "формального" векторного произведения, давая векторное поле, называемое ротором. Эти "формальные" произведения не обязательно коммутируют с другими операторами или произведениями. Эти три варианта использования, подробно описанные ниже, суммируются следующим образом:
Градиент:
Дивергенция:
Ротор:
the mathematical operator represented by the nabla symbol
Del, or nabla, is an operator used in mathematics (particularly in vector calculus) as a vector differential operator, usually represented by the nabla symbol ∇. When applied to a function defined on a one dimensional domain, it denotes the standard derivative of the function as defined in calculus. When applied to a field (a function defined on a multi dimensional domain), it may denote any one of three operations depending on the way it is applied: the gradient or (locally) steepest slope of a scalar field (or sometimes of a vector field, as in the Navier–Stokes equations); the divergence of a vector field; or the curl (rotation) of a vector field. Del is a very convenient mathematical notation for those three operations (gradient, divergence, and curl) that makes many equations easier to write and remember. The del symbol (or nabla) can be formally defined as a vector operator whose components are the corresponding partial derivative operators. As a vector operator, it can act on scalar and vector fields in three different ways, giving rise to three different differential operations: first, it can act on scalar fields by a "formal" scalar multiplication—to give a vector field called the gradient; second, it can act on vector fields by a "formal" dot product—to give a scalar field called the divergence; and lastly, it can act on vector fields by a "formal" cross product—to give a vector field called the curl. These "formal" products do not necessarily commute with other operators or products. These three uses, detailed below, are summarized as:
Gradient:
Divergence:
Curl:
Нотационное использование
Дель используется как сокращённая форма для упрощения многих длинных математических выражений. Чаще всего он применяется для упрощения выражений градиента, дивергенции, ротора, направленной производной и лапласиана.
Гессенская матрица
Хотя обычно обозначает лапласиан, иногда также может обозначать матрицу Гессе. Первый относится к внутреннему произведению градиента, а второй – к диадное произведению градиента:
Таким образом, обозначает ли это лапласиан или матрицу Гессе, зависит от контекста.