Кіріспе
Пауль Коэннің тұтастығы мен тәуелсіздігін дәлелдеу үшін ойлап тапқан техникасы, рекурсия теориясында мәжбүрлеуді қолдану.
the use of forcing in recursion theory
In the mathematical discipline of set theory, forcing is a technique for proving consistency and independence results. Intuitively, forcing can be thought of as a technique to expand the set theoretical universe to a larger universe by introducing a new "generic" object
Forcing was first used by Paul Cohen in 1963, to prove the independence of the axiom of choice and the continuum hypothesis from Zermelo–Fraenkel set theory. It has been considerably reworked and simplified in the following years, and has since served as a powerful technique, both in set theory and in areas of mathematical logic such as recursion theory. Descriptive set theory uses the notions of forcing from both recursion theory and set theory. Forcing has also been used in model theory, but it is common in model theory to define genericity directly without mention of forcing.
Жиын теориясының математикалық саласында мәжбүрлеу – тұтастығы мен тәуелсіздігін дәлелдеуге арналған әдіс. Интуитивті түрде, мәжбүрлеуді жаңа "жалпы" объектіні енгізу арқылы жиындық теориялық әлемді үлкен әлемге кеңейту әдісі ретінде қарастыруға болады.
the use of forcing in recursion theory
In the mathematical discipline of set theory, forcing is a technique for proving consistency and independence results. Intuitively, forcing can be thought of as a technique to expand the set theoretical universe to a larger universe by introducing a new "generic" object
Forcing was first used by Paul Cohen in 1963, to prove the independence of the axiom of choice and the continuum hypothesis from Zermelo–Fraenkel set theory. It has been considerably reworked and simplified in the following years, and has since served as a powerful technique, both in set theory and in areas of mathematical logic such as recursion theory. Descriptive set theory uses the notions of forcing from both recursion theory and set theory. Forcing has also been used in model theory, but it is common in model theory to define genericity directly without mention of forcing.
Мәжбүрлеуді алғаш рет Пауль Коэн 1963 жылы таңдау аксиомасының тәуелсіздігін және Зермело-Фраенкель жиын теориясынан континуум гипотезасын дәлелдеу үшін қолданды. Ол кейінгі жылдары маңызды өзгерістерге ұшырап, оңайлатылды және содан бері жиын теориясында да, рекурсия теориясы сияқты математикалық логика салаларында да қуатты құрал ретінде қолданылып келеді. Сипаттамалық жиын теориясы рекурсия теориясы мен жиын теориясының мәжбүрлеу ұғымдарын пайдаланады. Мәжбүрлеу модель теориясында да қолданылған, бірақ модель теориясында генералдылықты мәжбүрлеуге сілтеме жасамай тікелей анықтау әдетке айналған.
the use of forcing in recursion theory
In the mathematical discipline of set theory, forcing is a technique for proving consistency and independence results. Intuitively, forcing can be thought of as a technique to expand the set theoretical universe to a larger universe by introducing a new "generic" object
Forcing was first used by Paul Cohen in 1963, to prove the independence of the axiom of choice and the continuum hypothesis from Zermelo–Fraenkel set theory. It has been considerably reworked and simplified in the following years, and has since served as a powerful technique, both in set theory and in areas of mathematical logic such as recursion theory. Descriptive set theory uses the notions of forcing from both recursion theory and set theory. Forcing has also been used in model theory, but it is common in model theory to define genericity directly without mention of forcing.
Интуиция
Көбінесе, күштеу, белгілі бір қасиетті қанағаттандыратын кеңейтілген әлемді құру үшін қолданылады. Мысалы, кеңейтілген әлемде табиғи сандар жиынының ішкі жиындарымен сәйкестендірілген көптеген жаңа нақты сандар (кем дегенде олардың сондай-ақ саны) болуы мүмкін, бұл сандар ескі әлемде болмаған, соның салдарынан континуум гипотезасын бұзады. Мұндай кеңеюді интуитивті түрде негіздеу үшін, «ескі әлемді» жиын теориясының моделі ретінде қарастыру қажет, ол өзі «нақты әлемдегі» жиын болып табылады. Лёвенхайм-Сколем теоремасы бойынша, ол сырттан санаулы «қаңқа» модель ретінде таңдалуы мүмкін, бұл ішінде көптеген ішкі жиындардың болатынын кепілдейді, олар ескі әлемде жоқ. Нақтырақ айтқанда, әрбір мүшесіне (бірегей емес) ат берілуі керек. Аталған атты , жай ғана өріс кеңейтілгеніндей, -ның элементтері арқылы өрнектеуге болады. Күштеудің маңызды бөлігі – осы аттарды ішінде манипуляциялау болып табылады, сондықтан кейде оны «әлем» ретінде қарастыру пайдалы болуы мүмкін, күштеу теориясы оның нақты модельге сәйкес келетініне кепілдік береді. Күштеудің бір нюансы – егер ол -нің кез келген жиынының кездейсоқ «жетіспейтін ішкі жиыны» ретінде алынса, онда «ішінде» құрастырылған модель модель болып табылмайды. Себебі ол ішінде көрінбейтін туралы «арнайы» ақпаратты кодтауы мүмкін (мысалы, оның санаулылығы), соның салдарынан «сипаттау үшін тым күрделі» жиындардың бар екенін дәлелдейді. Күштеу мұндай проблемаларды болдырмау үшін, жаңадан енгізілген жиынның -ға қатысты жалпы жиын болуын талап етеді. Кейбір мәлімдемелер кез келген жалпы жиын үшін «күштеу арқылы» орындалуға тиіс: мысалы, жалпы жиын «күштеу арқылы» шексіз болуы керек. Сонымен қатар, жалпы жиынның кез келген қасиеттері (ішінде сипатталған) күштеу шартының белгілі бір жағдайында орындалуға «күштеу арқылы» міндетті. «Күштеу» ұғымын ішінде анықтауға болады, және ол оның қажетті қасиеттерді қанағаттандыратын модель екенін дәлелдеу үшін жеткілікті логикалық мүмкіндіктер береді. Коэннің бастапқы әдісі, қазір тармақталған күштеу деп аталады, мұнда баяндалған тармақталмаған күштеуден сәл өзгеше. Күштеу сонымен қатар Бульдік бағаланған модельдер әдісімен эквивалентті, оны кейбіреулер тұжырымдамалық тұрғыдан табиғирақ және интуитивтірек деп санайды, бірақ оны қолдану әдетте әлдеқайда қиын.
Үлгілердің рөлі
Жоғарыдағы тәсілдің тиімді жұмыс істеуі үшін , шындығында стандартты транзитивті модель болуы керек, сонда мүшелік және басқа да элементарлық ұғымдар екеуінде де түсінікті болады. Мостовскийдің құлдырау леммасы арқылы кез келген стандартты модельден стандартты транзитивті модель алуға болады, бірақ -ның кез келген стандартты моделінің (немесе оның кез келген түрінің) өзінің болуы, -ның дәйектілігінен күшті талап. Осы мәселенің шешімі ретінде, -ны -ның кез келген шекті жиынының стандартты транзитивті моделі деп қарастыру қабылданды ( -ның кез келген аксиоматизациясы кем дегенде бір аксиомалық схемаға ие, демек, шексіз көп аксиома бар), ал оның болуы рефлексия принципімен қамтамасыз етіледі. Мәжбүрлеу аргументінің мақсаты дәйектілік нәтижелерін дәлелдеу болғандықтан, бұл жеткілікті, себебі теориядағы кез келген қайшылық шекті ұзындықтағы шығарылым арқылы көрініс беруі керек, яғни тек шекті сандағы аксиомаларды ғана қамтуы тиіс.
To get around this issue, a standard technique is to let be a standard transitive model of an arbitrary finite subset of (any axiomatization of has at least one axiom schema, and thus an infinite number of axioms), the existence of which is guaranteed by the reflection principle. As the goal of a forcing argument is to prove consistency results, this is enough since any inconsistency in a theory must manifest with a derivation of a finite length, and thus involve only a finite number of axioms.
Шарттарды және позиттерді мәжбүрлеу
Әрбір мәжбүрлеу шартын модельге қосылған объект туралы шектеулі ақпарат ретінде қарастыруға болады. Объект туралы ақпарат берудің көптеген түрлі жолдары бар, олар әртүрлі мәжбүрлеу түсініктерін тудырады. Мәжбүрлеу ұғымдарын формализациялауға жалпы тәсіл – мәжбүрлеу шарттарын позициялық құрылымды абстрактілі объектілер ретінде қарастыру. Мәжбүрлеу жиыны – реттелген үштік , мұндағы – алдын ала реттелген, ал – ең үлкен элемент. Жиынның мүшелері – мәжбүрлеу шарттары (немесе жай ғана шарттар). Реттелу қатынасы «күштірек» дегенді білдіреді. (Интуитивті түрде, «кіші» шарт «көп» ақпарат береді, дәл сол сияқты кіші аралық сан туралы аралықтан гөрі көп ақпарат береді.) Бұдан әрі, алдын ала тәртіп атомсыз болуы керек, яғни ол бөліну шартын қанағаттандыруы керек:
For each , there are such that , with no such that
In other words, it must be possible to strengthen any forcing condition in at least two incompatible directions. Intuitively, this is because is only a finite piece of information, whereas an infinite piece of information is needed to determine
There are various conventions in use. Some authors require to also be antisymmetric, so that the relation is a partial order. Some use the term partial order anyway, conflicting with standard terminology, while some use the term preorder. The largest element can be dispensed with. The reverse ordering is also used, most notably by Saharon Shelah and his co authors.
Кез келген үшін , мұндай және мұндай жоқ, осылайша .
For each , there are such that , with no such that
In other words, it must be possible to strengthen any forcing condition in at least two incompatible directions. Intuitively, this is because is only a finite piece of information, whereas an infinite piece of information is needed to determine
There are various conventions in use. Some authors require to also be antisymmetric, so that the relation is a partial order. Some use the term partial order anyway, conflicting with standard terminology, while some use the term preorder. The largest element can be dispensed with. The reverse ordering is also used, most notably by Saharon Shelah and his co authors.
Басқаша айтқанда, кез келген мәжбүрлеу шартын кем дегенде екі үйлеспейтін бағытта күшейту мүмкін болуы керек. Бұл себебі – тек ақпараттың шектеулі бөлігі, ал анықтау үшін шексіз ақпарат қажет. Әртүрлі авторлар әртүрлі талаптар қояды. Кейбіреулер антисимметриялық болуын талап етеді, сондықтан қатынас ішінара тәртіпке ие болады. Ал кейбіреулері стандартты терминологиямен қайшы келетін «ішінара тәртіп» терминін қолданады, ал енді біреулері «алдын ала тәртіп» терминін қолданады. Ең үлкен элементсіз де болуы мүмкін. Кері реттілік те қолданылады, әсіресе Сахарон Шелах және оның әріптестері.
For each , there are such that , with no such that
In other words, it must be possible to strengthen any forcing condition in at least two incompatible directions. Intuitively, this is because is only a finite piece of information, whereas an infinite piece of information is needed to determine
There are various conventions in use. Some authors require to also be antisymmetric, so that the relation is a partial order. Some use the term partial order anyway, conflicting with standard terminology, while some use the term preorder. The largest element can be dispensed with. The reverse ordering is also used, most notably by Saharon Shelah and his co authors.
Мысалдар
Кез келген шексіз жиын болсын (мысалы, ), ал сұрақтағы жалпы нысан жаңа кіші жиын болсын. Коэннің мәжбүрлеудің бастапқы тұжырымдамасында әр мәжбүрлеу шарты өзіне сәйкес келетін (яғни, бірдей үшін және бірдей үшін бір шартта қана қолданбау) сөйлемдердің шекті жиынтығы болып табылады. Бұл мәжбүрлеу ұғымы әдетте Коэн мәжбүрлеуі деп аталады. Коэн мәжбүрлеуі үшін мәжбүрлеуші позит, кері инклюзия бойынша -тан -қа дейінгі шекті бөлшектік функциялар ретінде формальды түрде жазылуы мүмкін. Коэн мәжбүрлеуі бөліну шартын қанағаттандырады, себебі кез келген шарт берілгенде, әрқашан осы шартта айтылмаған элементті таба аламыз және сөйлемді немесе қосып, бір-бірімен үйлеспейтін екі жаңа мәжбүрлеу шартын алуға болады. Форсингтік жинақтың тағы бір мысалы – , мұндағы және – нөлдік емес Лебег өлшеміне ие Борелдің кіші жиынтықтарының жиынтығы. Бұл мәжбүрлеуші жинақтың жалпы нысаны кездейсоқ нақты сан болып табылады. Егер Борелдің кіші жиынтығы бастапқы кеңейтілмеген әлемде «сипатталған» болса (бұл Борел кодтары тұжырымдамасымен формальды түрде бекітілуі мүмкін), онда оның 1 өлшемі бар кез келген Борел кіші жиынтығына кіретінін көрсетуге болады. Әр мәжбүрлеу шартын оның өлшеміне тең ықтималдығы бар кездейсоқ оқиға ретінде қарастыруға болады. Бұл мысалдың дайын интуициясының арқасында, ықтималдық тілі кейде басқа да дивергентті мәжбүрлеу позиттерімен қолданылады.
Қаттылық
Жалпы сүзгі берілген жағдайда келесідей әрекет жасалады. -дағы атаулардың кіші класы деп белгіленеді. -ны (посеттік модельдегі күштер ретінде оқылады), мұнда - шарт, - форсинг тіліндегі формула, ал - атаулар, егер жалпы сүзгі құрамында болса, онда болады деп анықтаймыз. Арнайы жағдай жиі немесе жай ғана деп жазылады. Мұндай мәлімдемелер, қандай жағдай болмасын, дұрыс. Маңыздысы, бұл мәжбүрлеу қатынасының сыртқы анықтамасы -ның ішкі анықтамасымен тең, ол және бойынша трансфинитті индукциямен (айрықша индукциямен) анықталады, содан кейін формулалардың күрделілігі бойынша қарапайым индукция арқылы. Бұл -ның барлық қасиеттерінің шын мәнінде -ның қасиеттері болып табылатындығына әсер етеді және -ны тексеру оңай болады. Бұл әдетте мынадай үш негізгі қасиеттер ретінде түйінделеді: Шындық: егер және тек егер ол мәжбүр болса, яғни қандай да бір шарт үшін, бізде анықталуы бар: "" мәлімдемесі анықталады: .
To reduce the study of the set theory of to that of , one works with the "forcing language", which is built up like ordinary first order logic, with membership as the binary relation and all the names as constants. Define (to be read as " forces in the model with poset "), where is a condition, is a formula in the forcing language, and the 's are names, to mean that if is a generic filter containing , then The special case is often written as "" or simply "". Such statements are true in , no matter what is. What is important is that this external definition of the forcing relation is equivalent to an internal definition within , defined by transfinite induction (specifically induction) over the names on instances of and , and then by ordinary induction over the complexity of formulae. This has the effect that all the properties of are really properties of , and the verification of in becomes straightforward. This is usually summarized as the following three key properties:
Truth: if and only if it is forced by , that is, for some condition , we have Definability: The statement "" is definable in Coherence: .
Бірқалыптылық
Жоғарыдағы талқылауды негізгі тұтастық нәтижесімен қорытындылауға болады: мәжбүрлеуші жиынтық берілген жағдайда, ғаламға жатпайтын, жалпы сүзгінің бар екенін қабылдауға болады, және ол қайтадан жиын теориялық ғалам болып табылады, бұл сәйкесінше модельдейді. Сонымен қатар, -дағы барлық шындықтар мәжбүрлеу қатынасын қамтитын -дағы шындықтарға дейін келтірілуі мүмкін. Екі тәсіл де, саналатын транзитивті модельге немесе бүкіл ғаламға қосымша жасау жиі қолданылады. Мәжбүрлеудің "ішкі" анықтамасын қолдану, онда жиын немесе сынып модельдері еске алынбайды, сирек кездеседі. Бұл Коэннің бастапқы әдісі болды, ал бір түсіндірмеде ол Бульдік мәнді талдау әдісіне айналады.
Коэнді мәжбүрлеу
The simplest nontrivial forcing poset is , the finite partial functions from to under reverse inclusion. That is, a condition is essentially two disjoint finite subsets and of , to be thought of as the "yes" and "no" parts of , with no information provided on values outside the domain of " is stronger than " means that , in other words, the "yes" and "no" parts of are supersets of the "yes" and "no" parts of , and in that sense, provide more information. Let be a generic filter for this poset. If and are both in , then is a condition because is a filter. This means that is a well defined partial function from to because any two conditions in agree on their common domain. In fact, is a total function. Given , let Then is dense. (Given any , if is not in 's domain, adjoin a value for —the result is in .) A condition has in its domain, and since , we find that is defined. Let , the set of all "yes" members of the generic conditions. It is possible to give a name for directly. Let
Then Now suppose that in We claim that Let
Then is dense. (Given any , find that is not in its domain, and adjoin a value for contrary to the status of "".) Then any witnesses To summarize, is a "new" subset of , necessarily infinite. Replacing with , that is, consider instead finite partial functions whose inputs are of the form , with and , and whose outputs are or , one gets new subsets of They are all distinct, by a density argument: Given , let
then each is dense, and a generic condition in it proves that the αth new set disagrees somewhere with the th new set. This is not yet the falsification of the continuum hypothesis. One must prove that no new maps have been introduced which map onto , or onto For example, if one considers instead , finite partial functions from to , the first uncountable ordinal, one gets in a bijection from to In other words, has collapsed, and in the forcing extension, is a countable ordinal. The last step in showing the independence of the continuum hypothesis, then, is to show that Cohen forcing does not collapse cardinals. For this, a sufficient combinatorial property is that all of the antichains of the forcing poset are countable.
Саналатын тізбектің жағдайы
(Күшті) антижындық – егер және болса, онда және үйлесімсіз (белгіленгендей) болады, яғни және екеуі де бір-бірімен сәйкес келмейді, яғни олардың арасында мұндай элемент жоқ екендігін білдіреді. Борел жиындары мысалында, үйлесімсіздік нөлдік өлшемді білдіреді. Шектелген ішімдік функциялар мысалында, үйлесімсіздік функция емес екенін білдіреді, яғни және бір домендік кіріске әртүрлі мәндер береді. егер және тек егер оның кез келген антижындығы саналатын болса, саналатын тізбек шартын (қ.т.ш.) қанағаттандырады. (Атауы, әрине, сәйкес келмейді, бұл ескі терминологиядан қалған. Кейбір математиктер «саналатын антижындық шарты» үшін «қ.а.ш.» деп жазады.) өлшемдері ең көп дегенде сомаланатындықтан, c.c.c.-ні қанағаттандыратынын көру оңай. Сондай-ақ, c.c.c.-ні қанағаттандырады, бірақ дәлелдеу қиын. Егер сансыз көп болса, оны белгілі бір өлшемдегі сансыз көп жиынға дейін қысқартыңыз және қайталаңыз, соның нәтижесінде шекті жиын және сансыз көп үйлесімсіз жағдайлардың отбасы пайда болады, сондықтан әрқайсысы ең көп саналатын мүшелерде болады. Енді кездейсоқ элементті таңдап, ортақ домендік мүшесі бар саналатын мүшелердің бірі емес, кез келген элементті таңдаңыз. Осылайша, және үйлесімді болады, сондықтан ол антижындық емес. Басқаша айтқанда, антижындықтар саналатын. Форсингте антижындықтардың маңыздылығы – көп жағдайларда тығыз жиындар мен максималды антижындықтар эквивалентті. Максималды антижындық – үлкен антижындыққа кеңейтілмейтін антижындық. Бұл әрбір элемент қандай да бір мүшесімен үйлесімді екенін білдіреді. Максималды антижындықтардың болуы Зорн леммасынан туындайды. Берілген максималды антижындық болсын, онда тығыз болады, және тек егер болмаса. Керісінше, берілген тығыз жиын үшін Зорн леммасы максималды антижындық бар екенін көрсетеді, және содан кейін тек егер болса. c.c.c. шарты орындалса, функцияны келесідей жуықтауға болады. функциясы үшін атау (анықтамасы бойынша) және функцияны функциядан функцияға мәжбүрлейтін жағдай анықтаңыз. функциясын келесідей анықтаңыз: . Форсингтің анықталуы бойынша, бұл анықтама форсингте дұрыс. Форсингтің үйлесімділігі бойынша, басқа жағдайлар үйлесімсізден туындайды. c.c.c. шарты бойынша, саналатын. Қорыта айтқанда, ол форсингте белгісіз, өйткені ол функцияға тәуелді, бірақ c.c.c. форсингі үшін ол тым белгісіз емес. функциясының мәнін кез келген кірісте қандай болуы мүмкін екендігі туралы саналатын жиынды анықтауға болады, функциядан тәуелсіз. Бұл өте маңызды салдарға ие. Егер функциясы бір шексіз реттік санды екінші шексіз реттік санға эпиморфизм болса, онда функциясы болады, және нәтижесінде, функциясы болады. Әсіресе, кардиналдар құламайды. Соңғы қорытынды: .
Then is dense, and if and only if Conversely, given a dense set , Zorn's Lemma shows that there exists a maximal antichain , and then if and only if
Assume that satisfies the c. c. c. Given , with a function in , one can approximate inside as follows. Let be a name for (by the definition of ) and let be a condition that forces to be a function from to Define a function , by
By the definability of forcing, this definition makes sense within By the coherence of forcing, a different come from an incompatible By c. c. c., is countable. In summary, is unknown in as it depends on , but it is not wildly unknown for a c. c. c. forcing. One can identify a countable set of guesses for what the value of is at any input, independent of
This has the following very important consequence. If in , is a surjection from one infinite ordinal onto another, then there is a surjection in , and consequently, a surjection in In particular, cardinals cannot collapse. The conclusion is that in .
Истонның мәжбүрлеуі
Жоғарыда келтірілген Коэн моделіндегі континуумның нақты мәнін және жалпы кардиналдар үшін ұқсас нұсқаларды Роберт М. Соловай анықтады, ол сонымен қатар тек тұрақты кардиналдар үшін (жалпыланған континуум гипотезасын) шектеулі рет бұзу қалай екенін көрсетті. Мысалы, жоғарыда келтірілген Коэн моделінде, егер , онда болады. Уильям Б. Истон тұрақты кардиналдар үшін норманы бұзудың тиісті сыныптық нұсқасын жасады, негізінен белгілі шектеулер (монотондық, Кантор теоремасы және Кениг теоремасы) дәлелденетін жалғыз шектеулер екенін көрсетті (Истон теоремасын қараңыз). Истонның жұмысы ерекше болды, өйткені ол тиісті шарттардың класымен мәжбүрлеуді қамтиды. Жалпы, шарттардың тиісті класымен мәжбүрлеу әдісі үлгі беруге мүмкіндік бермейді. Мысалы, , барлық ординалдардың тиісті класы болатын жерде мәжбүрлеу, континуумды тиісті класс етеді. Екінші жағынан, мәжбүрлеу ординалдардың саналатын тізімін енгізеді. Екі жағдайда да, нәтижесіндегі үлгі анық түрде үлгі болып табылмайды. Бір кезде, күрделі мәжбүрлеу жеке кардиналдардың дәрежелерінде кездейсоқ өзгеріске де мүмкіндік береді деп ойлалған. Алайда, бұл қиын, нәзік және тіпті таңғажайып мәселе болып шықты, және олармен дәлелденетін тағы бірнеше шектеулер бар, сонымен қатар мәжбүрлеу модельдері әр түрлі үлкен кардиналдық қасиеттердің сәйкестігіне байланысты. Көптеген ашық мәселелер әлі де шешілмей тұр.
William B. Easton worked out the proper class version of violating the for regular cardinals, basically showing that the known restrictions, (monotonicity, Cantor's Theorem and König's Theorem), were the only provable restrictions (see Easton's Theorem). Easton's work was notable in that it involved forcing with a proper class of conditions. In general, the method of forcing with a proper class of conditions fails to give a model of For example, forcing with , where is the proper class of all ordinals, makes the continuum a proper class. On the other hand, forcing with introduces a countable enumeration of the ordinals. In both cases, the resulting is visibly not a model of
At one time, it was thought that more sophisticated forcing would also allow an arbitrary variation in the powers of singular cardinals. However, this has turned out to be a difficult, subtle and even surprising problem, with several more restrictions provable in and with the forcing models depending on the consistency of various large cardinal properties. Many open problems remain.
Бульдік-бағалы модельдер
Мүмкін, әдісті Бульдік мәндік үлгілер тұрғысынан түсіндіру оңайырақ. Мұндай үлгілерде кез келген тұжырымға тек қана шындық/жалғандық емес, толық, атомсыз Буль алгебрасынан алынған шындық мәні беріледі. Содан кейін осы Буль алгебрасындағы ультрафильтр таңдалады, ол теориямыздың тұжырымдарына шындық/жалғандық мәнін тағайындайды. Маңызы мынада, нәтижедегі теорияда осы ультрафильтрді қамтитын модель болады, оны ескі модельді осы ультрафильтрмен кеңейту арқылы алынған жаңа модель деп түсінуге болады. Бульдік мәндік үлгіні тиісті түрде таңдау арқылы қажетті қасиетке ие модель алуға болады. Онда тек шын болуға тиіс (немесе "мәжбүрленген") тұжырымдар ғана белгілі бір мағынада шын болады (өйткені оның кеңейту/минималдық қасиеті бар).
Мета-математикалық түсіндірме
Қатаң дәлелдеуде біз әдетте қандай да бір сөйлемнің (немесе, мүмкін, оның кеңейтілген нұсқасының) сәйкес келетінін көрсетуге тырысамыз. Бұл аргументті түсіндірудің бір жолы – бастапқыда сәйкес деп есептеу, содан кейін жаңа сөйлем қосылғанда да сәйкестік сақталады екенін дәлелдеу. Әрбір "шарт" – ақпараттың шекті бір бөлігі. Сәйкестікті анықтауда тек шекті бөліктер ғана маңызды, себебі тығыздық теоремасына сәйкес, теория қанағаттандырылатын болса, оның аксиомаларының кез келген шекті жиынтығы да қанағаттандырылатын болады. Осыдан кейін модельді кеңейту үшін сәйкес шарттардың шексіз жиынтығын таңдаймыз. Демек, сәйкес екенін болжай отырып, біз осы шексіз жиынтықпен кеңейтілгенін де сәйкес деп дәлелдейміз.