Кіріспе
Математиканың бір саласы – жиын теориясында, Q тілінде сипаттау қиын болатын үлкен кардинал саны – Q-де аксиомалау қиын болатын үлкен кардинал саны. Q тілін әртүрлі таңдауға сәйкес келетін көптеген сипатталмайтын кардиналдар бар. Олар алғаш рет A кардиналы ретінде енгізілді, егер кез келген ұйғарым үшін және жиын үшін, онда кейбір жағдайда Леви иерархиясына сәйкес, мұнда m-1 сандық алмасуы бар формулалар қарастырылады, ал ең сыртқы сандық сан жалпылама болып табылады. Сипатталмайтын кардиналдар ұқсас түрде анықталады, бірақ ең сыртқы сандық сан экзистенциалды болып табылады. Құрылымды анықтамас бұрын, жиын теориясының тіліне бір жаңа предикат символы қосылады, ол былай түсіндіріледі: идеясы – бұл n+1-ші ретті логиканың кез келген формуласы бойынша, тіпті қосымша бірлік предикат символының (A үшін) артықшылығымен m-1 сандық алмасулармен, кіші кардиналдардан (төменнен қарап) ерекшеленбейді. Бұл оның үлкен екенін білдіреді, өйткені ұқсас қасиеттері бар көптеген кіші кардиналдар болуы керек. Кардинал саны толық сипатталмайтын сан деп аталады, егер ол барлық оң бүтін сандар m және n үшін сипатталмайтын болса. Егер ординал болса, кардинал саны сипатталмайтын сан деп аталады, егер кез келген формула үшін және орналысқан жиынның кез келген ішкі жиыны үшін, егер онда сипатталмайтын ординалдар толық сипатталмайтын кардиналдар болып табылады, ал егер шекті болса, олар сипатталмайтын ординалдармен бірдей. Сипатталмайтын ештеңе жоқ, сондай-ақ сипаттамасыздық кез келген үшін сипаттамасыздықты білдірмейді, бірақ : егер онда және осындай бар.
In set theory, a branch of mathematics, a Q indescribable cardinal is a certain kind of large cardinal number that is hard to axiomatize in some language Q. There are many different types of indescribable cardinals corresponding to different choices of languages Q. They were introduced by
A cardinal number is called indescribable if for every proposition , and set with there exists an with Following Lévy's hierarchy, here one looks at formulas with m 1 alternations of quantifiers with the outermost quantifier being universal. indescribable cardinals are defined in a similar way, but with an outermost existential quantifier. Prior to defining the structure , one new predicate symbol is added to the language of set theory, which is interpreted as The idea is that cannot be distinguished (looking from below) from smaller cardinals by any formula of n+1 th order logic with m 1 alternations of quantifiers even with the advantage of an extra unary predicate symbol (for A). This implies that it is large because it means that there must be many smaller cardinals with similar properties. The cardinal number is called totally indescribable if it is indescribable for all positive integers m and n.
If is an ordinal, the cardinal number is called indescribable if for every formula and every subset of such that holds in there is a some such that holds in If is infinite then indescribable ordinals are totally indescribable, and if is finite they are the same as indescribable ordinals. There is no that is indescribable, nor does indescribability necessarily imply indescribability for any , but there is an alternative notion of shrewd cardinals that makes sense when : if holds in , then there are and such that holds in .
Тарихи мәлімет
Бастапқыда, кардинал κ Q сипатталмайтын деп аталды, егер кез келген Q формуласы мен қатынасы үшін, егер онда, онда осындай болатын элемент табылады. Осы анықтама бойынша, κ кардиналы сипатталмайтын болады, егер ол реттелген және одан үлкен болса. Бұл қасиет "ординалдық сипатталмаушылық" деп те аталады. 32-бет.
Теңдес шарттар
Кардинал сипатталмайтын болса, оны сипаттау мүмкін емес. Кардинал қолжетімді емес, егер және тек қана егер ол барлық оң бүтін сандар үшін сипатталмайтын болса, яғни егер ол сипатталмайтын болса. Сипатталмайтын кардиналдар әлсіз компактты кардиналдармен бірдей. Сипатталмау шарты шағылысу принципін қанағаттандыруға тең (ол ZFC-де дәлелденеді), бірақ екінші реттік еркін айнымалысы бар жоғары реттік формулаларды қолдану арқылы кеңейтіледі. 4.3-қорытынды
Егер V=L болса, онда n>0 табиғи саны үшін, есептелмейтін кардинал Π сипатталмайтын болса, оның (n+1) стационарлығы орын алады.
Атқарушы кластар
Ординалдар класы және сипатталмайтын кардинал үшін, егер (кейбір формула бойынша) формула болса, онда орындалған деп айтылады, бірақ ешқандай үшін орындалмайды. Бұл екі шартық (Қолжетімсіздіктің екі модельдік-теориялық сипаттамаларына қараңыз) болып табылады. Өлшенетін кардиналдар сипатталмайтын, бірақ ең кішкентай өлшенетін кардинал сипатталмайтын емес. Дегенмен, таңдау аксиомасын қабылдасақ, кез келген өлшенетін кардиналдан төмен көптеген толық сипатталмайтын кардиналдар бар. үшін, ZFC+"сипатталмайтын кардинал бар" ZFC+"сипатталмайтын кардинал бар, мұнда " дегенмен эквивалентті, яғни "GCH сипатталмайтын кардиналда бұзылады".