Кіріспе
Жинақ теориясындағы ұғым Жинақ теориясының математикалық саласында 0# (нөлдік өткір, сондай-ақ 0#) – Гёдельдің құрастырылатын әлемдегі ажыратылмайтын және ретсіз ажыратылмайтын формулалар жиыны. Ол көбінесе табиғи сандардың ішкі жиыны ретінде (Гёдель нөмірлеуін пайдалана отырып), немесе мұрагерлік бойынша шекті жиындардың ішкі жиыны ретінде, немесе нақты сан ретінде кодталады. Оның болуы аксиомалық жиын теориясының стандартты түрі ZFC-де дәлелденбейді, бірақ тиісті үлкен кардинал аксиомасынан туындайды. Ол алғаш рет Сильвердің 1966 жылғы диссертациясында формулалар жиыны ретінде енгізілді, кейіннен Σ арқылы белгіленді, және оны табиғи сандардың ішкі жиыны ретінде қарастырған және O# белгісін енгізген қайтадан ашты (үлкен әріппен O; кейіннен бұл '0' санына өзгертілді). Шамамен айтқанда, егер 0# болса, онда жиындардың әлемі V құрастырылатын жиындардың әлемі L-ден әлдеқайда үлкен болады, ал егер ол болмаса, онда барлық жиындардың әлемі құрастырылатын жиындарға жақын болады.
In the mathematical discipline of set theory, 0# (zero sharp, also 0#) is the set of true formulae about indiscernibles and order indiscernibles in the Gödel constructible universe. It is often encoded as a subset of the natural numbers (using Gödel numbering), or as a subset of the hereditarily finite sets, or as a real number. Its existence is unprovable in ZFC, the standard form of axiomatic set theory, but follows from a suitable large cardinal axiom. It was first introduced as a set of formulae in Silver's 1966 thesis, later published as , where it was denoted by Σ, and rediscovered by , who considered it as a subset of the natural numbers and introduced the notation O# (with a capital letter O; this later changed to the numeral '0'). Roughly speaking, if 0# exists then the universe V of sets is much larger than the universe L of constructible sets, while if it does not exist then the universe of all sets is closely approximated by the constructible sets.
Өмірде бар екендігін білдіретін мәлімдемелер
Рамзи кардиналының болуы туралы талапты 0# бар екенін білдіретін жағдайды әлсіретуге болады. ω1 Эрдос кардиналдарының болуы 0# бар екенін білдіреді. Бұл мүмкіндігі жағынан ең жақсы нәтижеге жақын, себебі 0# бар екені құрастырылатын әлемде барлық санаулы α үшін α Эрдос кардиналының бар екенін білдіреді, сондықтан мұндай кардиналдарды 0# бар екенін дәлелдеу үшін қолдануға болмайды. Чангтың болжамы 0# бар екенін білдіреді.
Тіршілік етумен теңестірілген мәлімдемелер
Кунен 0# бар екенін көрсетті, егер және тек Гёдельдің құрастырылатын ғалам L үшін тривиальді емес элементарлы кіріктіру болса. Дональд А. Мартин мен Лео Харрингтон 0#-тің бар екендігі жарық бетіндегі аналитикалық ойындардың анықтығымен эквивалентті екенін көрсетті. Шындығында, әмбебап жарық бетіндегі аналитикалық ойынның стратегиясы 0# сияқты Тьюринг дәрежесіне ие. Дженсеннің жабу теоремасынан 0#-тің бар екендігі құрастырылатын ғалам L-де ωω-ның реттелі кардинал болуымен эквивалентті.
Силвер құрастырылатын ғаламдағы санаулы емес ажыратылмас жиынның бар екендігі 0#-тің бар екендігімен эквивалентті екенін көрсетті.
Бар болу және жоқ болу салдары
0# бар екендігі, жиынтық теориялық ғаламдағы V санауға келмейтін әрбір кардиналдың L-де ажыратылмайтын болып табылатынын және L-де іске асырылған барлық үлкен кардинал аксиомаларын қанағаттандыратынын білдіреді (мысалы, толығымен айтылмаған). 0# бар екендігі құрастырылатындық аксиомасына қайшы келеді: V = L.
Егер 0# болса, онда ол табиғи сандардың құрастырылмайтын Δ жиынының мысалы болып табылады. Бұл, белгілі бір мағынада, құрастырылмайтын жиын үшін ең қарапайым мүмкіндік, өйткені табиғи сандардың барлық Σ және Π жиындары құрастырылатын. Екінші жағынан, егер 0# болмаса, онда құрастырылатын ғалам L – негізгі модель, яғни қарастырылатын ғаламның үлкен кардиналдық құрылымын жақындататын канондық ішкі модель. Бұл жағдайда Дженсеннің жабу леммасы орындалады:
Сандардың кез келген санауға келмейтін жиыны x үшін, x ⊂ y және y жиынының кардиналдығы x жиынының кардиналдығымен бірдей болатын құрастырылатын y жиыны бар. Бұл терең нәтиже Рональд Дженсенге тиесілі. Форсингті пайдаланып, x санауға келмейтін екенін жою мүмкін емес екенін көру оңай. Мысалы, Namba форсингін қарастырайық, ол сақтайды және кофиналдылық ординалына дейін құртады. болып табын, L бойынша кофиналды және генерикалық тізбек болсын. Содан кейін L-де L өлшемінен кіші (V-де санауға келмейтін, өйткені сақталады) ешбір жиын жаба алмайды, өйткені реттегіш кардинал болып табылады.
Басқа өткір құралдар
Егер x кез келген жиын болса, онда x# 0#-ға ұқсас түрде анықталады, бірақ L орнына L[x] қолданылады. Құрылыстық ғаламда салыстырмалы құрастырылу бөлімін қараңыз.