Шеңбер теориясында қолжетпес кардиналдар

Кіріспе

Жинақтар теориясындағы шексіз санның түрі

Жинақтар теориясында, егер оны кіші кардиналдардан кардиналдық арифметиканың қалыпты амалдарымен алу мүмкін болмаса, санауға келмейтін кардинал қолжетімсіз деп аталады. Нақтырақ айтқанда, кардинал κ мықты қолжетімсіз болып табылады, егер ол келесі үш шартты қанағаттандырса: ол санауға келмейтін, κ-дан кіші кардиналдардың қосындысы емес, және . "Қолжетімсіз кардинал" термині мағыналық тұрғыдан екіұшты. 1950 жылға дейін ол "әлсіз қолжетімсіз кардинал" дегенді білдірген, бірақ содан бері көбінесе "мықты қолжетімсіз кардинал" дегенді білдіреді. Егер ол тұрақты әлсіз шекті кардинал болса, санауға келмейтін кардинал әлсіз қолжетімсіз болып табылады. Егер ол тұрақты мықты шекті кардинал болса, онда ол мықты қолжетімсіз немесе жай ғана қолжетімсіз болып табылады (бұл жоғарыдағы анықтамамен тең). Кейбір авторлар әлсіз және мықты қолжетімсіз кардиналдардың санауға келмейтін болуын талап етпейді (осы жағдайда \aleph 0 мықты қолжетімсіз болып табылады). Әлсіз қолжетімсіз кардиналдарды , ал мықты қолжетімсіз кардиналдарды енгізді, соңғысында олар Grenzzahlen деп аталды. Кез келген мықты қолжетімсіз кардинал сонымен қатар әлсіз қолжетімсіз болып табылады, себебі кез келген мықты шекті кардинал сонымен қатар әлсіз шекті кардинал болып табылады. Егер жалпыланған континуум гипотезасы орындалса, онда кардинал мықты қолжетімсіз болады, егер және тек қана ол әлсіз қолжетімсіз болса. \aleph 0 (алеф нөл) – тұрақты мықты шекті кардинал. Таңдау аксиомасын қабылдасақ, кез келген басқа шексіз кардиналдық сан тұрақты немесе (әлсіз) шекті болады. Дегенмен, тек өте үлкен кардиналдық сан ғана екеуінің де болуы мүмкін, демек әлсіз қолжетімсіз болады. Ординал әлсіз қолжетімсіз кардинал болады, егер және тек қана ол тұрақты ординал болса және ол тұрақты ординалдардың лимиті болса. (Нөл, бір және ω – тұрақты ординалдар, бірақ тұрақты ординалдардың лимиттері емес.) Әлсіз қолжетімсіз және сонымен қатар мықты шекті кардинал мықты қолжетімсіз болып табылады. Мықты қолжетімсіз кардиналдың бар екендігі туралы болжам кейде Гротендик ғаламының ішінде жұмыс істеуге болатындығы туралы болжам түрінде қолданылады, бұл екі идея тығыз байланысты.

In set theory, an uncountable cardinal is inaccessible if it cannot be obtained from smaller cardinals by the usual operations of cardinal arithmetic. More precisely, a cardinal κ is strongly inaccessible if it satisfies the following three conditions: it is uncountable, it is not a sum of fewer than κ cardinals smaller than κ, and implies
The term "inaccessible cardinal" is ambiguous. Until about 1950, it meant "weakly inaccessible cardinal", but since then it usually means "strongly inaccessible cardinal". An uncountable cardinal is weakly inaccessible if it is a regular weak limit cardinal. It is strongly inaccessible, or just inaccessible, if it is a regular strong limit cardinal (this is equivalent to the definition given above). Some authors do not require weakly and strongly inaccessible cardinals to be uncountable (in which case \aleph 0 is strongly inaccessible). Weakly inaccessible cardinals were introduced by , and strongly inaccessible ones by and , in the latter they were referred to along with as Grenzzahlen. Every strongly inaccessible cardinal is also weakly inaccessible, as every strong limit cardinal is also a weak limit cardinal. If the generalized continuum hypothesis holds, then a cardinal is strongly inaccessible if and only if it is weakly inaccessible. \aleph 0 (aleph null) is a regular strong limit cardinal. Assuming the axiom of choice, every other infinite cardinal number is regular or a (weak) limit. However, only a rather large cardinal number can be both and thus weakly inaccessible. An ordinal is a weakly inaccessible cardinal if and only if it is a regular ordinal and it is a limit of regular ordinals. (Zero, one, and ω are regular ordinals, but not limits of regular ordinals.) A cardinal which is weakly inaccessible and also a strong limit cardinal is strongly inaccessible. The assumption of the existence of a strongly inaccessible cardinal is sometimes applied in the form of the assumption that one can work inside a Grothendieck universe, the two ideas being intimately connected.

Үлгілер мен бірізділік

Зермело-Франкельдің таңдау аксиомасы бар жиын теориясы (ZFC) фон Нейман ғаламының n-шы деңгейінің, егер n күшті түрде қолжетімсіз болса, ZFC-нің моделі болатынын білдіреді. Ал ZF Гёдель ғаламының ZFC-нің моделі екенін білдіреді, егер ол әлсіз қолжетімсіз болса. Осылайша, ZF және «әлсіз қолжетімсіз кардинал бар» деген тұжырым ZFC-нің дәйекті екенін білдіреді. Сондықтан қолжетімсіз кардиналдар үлкен кардиналдардың бір түрі болып табылады. Егер V, ZFC-нің стандартты моделі болса және κ, V-де қолжетімсіз болса, онда: V, Зермело-Франкель жиын теориясының қалыпты модельдерінің бірі болады; және V, Мендельсонның фон Нейман-Берней-Гёдель жиын теориясының нұсқасының қалыпты модельдерінің бірі болады, ол жаһандық таңдауды жоққа шығарады, оның орнына өлшемді шектеуді ауыстыру және стандартты таңдаумен алмастырады; және V, Морс-Келли жиын теориясының қалыпты модельдерінің бірі болады. Мұнда Δ0, X жиынының Δ0-де анықталатын кіші жиындарының жиыны (құрылымдық ғаламды қараңыз). Дегенмен, V, ZF-нің стандартты моделі болу үшін қолжетімсіз болуы міндетті емес, тіпті кардинал саны да болуы міндетті емес (төменде қараңыз). V, ZFC-нің моделі болсын. Егер V-де күшті қолжетімсіз кардинал болмаса немесе V-дегі ең кішкентай күшті қолжетімсіз кардинал κ болса, онда V, күшті қолжетімсіз кардиналдар жоқ ZFC-нің стандартты моделі болады. Осылайша, ZFC-нің дәйектілігі ZFC + «күшті қолжетімсіз кардиналдар жоқ» дәйектілігін білдіреді. Сол сияқты, егер V-де әлсіз қолжетімсіз кардинал болмаса немесе V-дегі кез келген стандартты кіші модельге қатысты әлсіз қолжетімсіз болатын ең кішкентай ординал κ болса, онда V, әлсіз қолжетімсіз кардиналдар жоқ ZFC-нің стандартты моделі болады. Демек, ZFC-нің дәйектілігі ZFC + «әлсіз қолжетімсіз кардиналдар жоқ» дәйектілігін білдіреді. Бұл ZFC қолжетімсіз кардиналдың бар екенін дәлелдей алмайтынын көрсетеді, сондықтан ZFC қолжетімсіз кардиналдардың болмауымен де үйлесімді. ZFC-нің қолжетімсіз кардиналдың бар екенімен үйлесімділігі мәселесі күрделірек. Алдыңғы абзацта сипатталған ZFC-нің дәйектілігі ZFC + «қолжетімсіз кардинал жоқ» дәйектілігін білдіретінін көрсететін дәлелді ZFC-де формалдауға болады. Алайда, ZFC дәйекті болған жағдайда, ZFC дәйектілігі ZFC + «қолжетімсіз кардинал бар» дәйектілігін білдіретін дәлелді ZFC-де формалдауға болмайды. Бұл Гёдельдің екінші толық емес теоремасынан туындайды, ол егер ZFC + «қолжетімсіз кардинал бар» дәйекті болса, онда ол өзінің дәйектілігін дәлелдей алмайтынын көрсетеді. Себебі ZFC + «қолжетімсіз кардинал бар» ZFC-нің дәйектілігін дәлелдейді, егер ZFC өзінің дәйектілігі ZFC + «қолжетімсіз кардинал бар» дәйектілігін білдіретінін дәлелдесе, онда соңғы теория өзінің дәйектілігін дәлелдей алады, бұл оның дәйектілігі болған жағдайда мүмкін емес. ZFC-де формалдауға болмайтын қолжетімсіз кардиналдардың бар екеніне қатысты аргументтер бар. Мұндай аргументтің бірі, белгілі бір жиын теориясы моделі M-нің барлық ординалдар класы, егер M-ді кеңейтетін және M элементтерінің қуат жиынын сақтайтын үлкен модель болса, өзі қолжетімсіз кардинал болар еді.

Zermelo–Fraenkel set theory with Choice (ZFC) implies that the th level of the Von Neumann universe is a model of ZFC whenever is strongly inaccessible. And ZF implies that the Gödel universe is a model of ZFC whenever is weakly inaccessible. Thus, ZF together with "there exists a weakly inaccessible cardinal" implies that ZFC is consistent. Therefore, inaccessible cardinals are a type of large cardinal. If is a standard model of ZFC and is an inaccessible in , then: is one of the intended models of Zermelo–Fraenkel set theory; and is one of the intended models of Mendelson's version of Von Neumann–Bernays–Gödel set theory which excludes global choice, replacing limitation of size by replacement and ordinary choice; and is one of the intended models of Morse–Kelley set theory. Here is the set of Δ0 definable subsets of X (see constructible universe). However, does not need to be inaccessible, or even a cardinal number, in order for to be a standard model of ZF (see below). Suppose is a model of ZFC. Either V contains no strong inaccessible or, taking to be the smallest strong inaccessible in , is a standard model of ZFC which contains no strong inaccessibles. Thus, the consistency of ZFC implies consistency of ZFC+"there are no strong inaccessibles". Similarly, either V contains no weak inaccessible or, taking to be the smallest ordinal which is weakly inaccessible relative to any standard sub model of , then is a standard model of ZFC which contains no weak inaccessibles. So consistency of ZFC implies consistency of ZFC+"there are no weak inaccessibles". This shows that ZFC cannot prove the existence of an inaccessible cardinal, so ZFC is consistent with the non existence of any inaccessible cardinals. The issue whether ZFC is consistent with the existence of an inaccessible cardinal is more subtle. The proof sketched in the previous paragraph that the consistency of ZFC implies the consistency of ZFC + "there is not an inaccessible cardinal" can be formalized in ZFC. However, assuming that ZFC is consistent, no proof that the consistency of ZFC implies the consistency of ZFC + "there is an inaccessible cardinal" can be formalized in ZFC. This follows from Gödel's second incompleteness theorem, which shows that if ZFC + "there is an inaccessible cardinal" is consistent, then it cannot prove its own consistency. Because ZFC + "there is an inaccessible cardinal" does prove the consistency of ZFC, if ZFC proved that its own consistency implies the consistency of ZFC + "there is an inaccessible cardinal" then this latter theory would be able to prove its own consistency, which is impossible if it is consistent. There are arguments for the existence of inaccessible cardinals that cannot be formalized in ZFC. One such argument, presented by , is that the class of all ordinals of a particular model M of set theory would itself be an inaccessible cardinal if there was a larger model of set theory extending M and preserving powerset of elements of M.

Қолжетімді еместердің тиісті класының болуы

Жинақтар теориясында қызығушылық тудыратын белгілі бір қасиеттерді қанағаттандыратын кардиналдардың дұрыс класының бар екенін күндіздейтін көптеген маңызды аксиомалар бар. Қолжетімсіздік жағдайында, сәйкес аксиома – әрбір кардинал μ үшін, μ < κ болатын, қатаң түрде үлкен қолжетімсіз кардинал κ бар екенін күндіздейді. Осылайша, бұл аксиома қолжетімсіз кардиналдардың шексіз тізбегінің бар екендігіне кепілдік береді (және кейде қолжетімсіз кардинал аксиомасы деп аталады). Кез келген қолжетімсіз кардиналдың бар екендігі сияқты, қолжетімсіз кардинал аксиомасы ZFC аксиомаларынан дәлелдеуге келмейді. ZFC аксиомаларын қарастыра отырып, қолжетімсіз кардинал аксиомасы Гротендик пен Вердие ғалам аксиомасына эквивалентті: әрбір жиын Гротендик ғаламына кіреді. ZFC аксиомалары ғалам аксиомасымен бірге (немесе эквивалентті түрде қолжетімсіз кардинал аксиомасымен) ZFCU деп белгіленеді (урелементтері бар ZFC-мен шатастырмау керек). Бұл аксиоматикалық жүйе, мысалы, әрбір санаттың сәйкес Йонеда ендірілімі бар екенін дәлелдеу үшін пайдалы. Бұл салыстырмалы түрде әлсіз үлкен кардинал аксиомасы, себебі ол келесі бөлімнің тілінде ∞ 1 қолжетімсіз екенін білдіреді, мұнда ∞ – V-де жоқ ең кіші ординал, яғни сіздің моделіңіздегі барлық ординалдардың класы.

α-жедел емес кардиналдар және гипержедел емес кардиналдар

"α қолжетімсіз кардинал" термині мағынасыз және әртүрлі авторлар эквивалентті емес анықтамаларды қолданады. Бір анықтама бойынша, кез келген ординал α үшін кардинал κ α қолжетімсіз деп аталады, егер κ қолжетімсіз болса және әрбір ординал β < α үшін, κ-дан кіші β қолжетімсіздердің жиыны κ-да шектелмесе (және осылайша, κ кардиналдылығы, өйткені κ реттелген). Бұл жағдайда 0 қолжетімсіз кардиналдар күшті қолжетімсіз кардиналдармен бірдей. Тағы бір мүмкін анықтама мынада: егер κ реттелген болса, кардинал κ α әлсіз қолжетімсіз деп аталады және әрбір ординал β < α үшін κ-дан кем β әлсіз қолжетімсіздердің жиыны κ-да шектелмесе. Бұл жағдайда 0 әлсіз қолжетімсіз кардиналдар – реттелген кардиналдар, ал 1 әлсіз қолжетімсіз кардиналдар – әлсіз қолжетімсіз кардиналдар. α қолжетімсіз кардиналдарды төменгі қолжетімсіздерді санайтын функциялардың тұрақты нүктелері ретінде де сипаттауға болады. Мысалы, ψ₀(λ) арқылы λ-шы қолжетімсіз кардиналды белгілейік, сонда ψ₀-ның тұрақты нүктелері 1 қолжетімсіз кардиналдарды құрайды. Содан кейін ψβ(λ) – λ-шы β қолжетімсіз кардиналы болса, ψβ-ның тұрақты нүктелері (β+1) қолжетімсіз кардиналдар (яғни ψβ+1(λ)). Егер α шекті ординал болса, онда α қолжетімсіз – β < α үшін әрбір ψβ-ның тұрақты нүктесі (ψα(λ) мәні λ-шы осындай кардинал). Функциялардың тұрақты нүктелерін алып, бірінен соң бірі үлкен кардиналдарды жасайтын процесс үлкен кардиналдарды зерттеуде жиі кездеседі. "Гипер қолжетімсіз" термині мағынасыз және кем дегенде үш қақтығыс мағынаға ие. Көптеген авторлар оны күшті қолжетімсіз кардиналдардың реттелген лимитін білдіру үшін қолданады (1 қолжетімсіз). Басқа авторлар оны κ қолжетімсіз деген мағынада қолданады. (Ол ешқашан қолжетімсіз бола алмайды.) Кейде ол Махло кардиналы деген мағынада қолданылады. "α гипер қолжетімсіз" термині де мағынасыз. Кейбір авторлар оны α қолжетімсіз деген мағынада қолданады. Басқа авторлар кез келген ординал α үшін кардинал κ α гипер қолжетімсіз, егер және тек қана егер κ гипер қолжетімсіз болса және әрбір ординал β < α үшін κ-дан кіші β гипер қолжетімсіздердің жиыны κ-да шектелмесе. Гипер-гипер қолжетімсіз кардиналдар және т.б. ұқсас тәсілдермен анықталуы мүмкін, және әдеттегідей бұл термин мағынасыз. "Қолжетімсіз" дегеннің орнына "әлсіз қолжетімсіз" дегенді пайдаланып, "әлсіз α қолжетімсіз", "әлсіз гипер қолжетімсіз" және "әлсіз α гипер қолжетімсіз" дегенге ұқсас анықтамалар жасауға болады. Махло кардиналдары қолжетімсіз, гипер қолжетімсіз, гипер-гипер қолжетімсіз және т.б. болып табылады.

The term "α inaccessible cardinal" is ambiguous and different authors use inequivalent definitions. One definition is that
a cardinal κ is called α inaccessible, for any ordinal α, if κ is inaccessible and for every ordinal β < α, the set of β inaccessibles less than κ is unbounded in κ (and thus of cardinality κ, since κ is regular). In this case the 0 inaccessible cardinals are the same as strongly inaccessible cardinals. Another possible definition is that a cardinal κ is called α weakly inaccessible if κ is regular and for every ordinal β < α, the set of β weakly inaccessibles less than κ is unbounded in κ. In this case the 0 weakly inaccessible cardinals are the regular cardinals and the 1 weakly inaccessible cardinals are the weakly inaccessible cardinals. The α inaccessible cardinals can also be described as fixed points of functions which count the lower inaccessibles. For example, denote by ψ0(λ) the λth inaccessible cardinal, then the fixed points of ψ0 are the 1 inaccessible cardinals. Then letting ψβ(λ) be the λth β inaccessible cardinal, the fixed points of ψβ are the (β+1) inaccessible cardinals (the values ψβ+1(λ)). If α is a limit ordinal, an α inaccessible is a fixed point of every ψβ for β < α (the value ψα(λ) is the λth such cardinal). This process of taking fixed points of functions generating successively larger cardinals is commonly encountered in the study of large cardinal numbers. The term hyper inaccessible is ambiguous and has at least three incompatible meanings. Many authors use it to mean a regular limit of strongly inaccessible cardinals (1 inaccessible). Other authors use it to mean that κ is κ inaccessible. (It can never be inaccessible.) It is occasionally used to mean Mahlo cardinal. The term α hyper inaccessible is also ambiguous. Some authors use it to mean α inaccessible. Other authors use the definition that
for any ordinal α, a cardinal κ is α hyper inaccessible if and only if κ is hyper inaccessible and for every ordinal β < α, the set of β hyper inaccessibles less than κ is unbounded in κ.

Hyper hyper inaccessible cardinals and so on can be defined in similar ways, and as usual this term is ambiguous. Using "weakly inaccessible" instead of "inaccessible", similar definitions can be made for "weakly α inaccessible", "weakly hyper inaccessible", and "weakly α hyper inaccessible". Mahlo cardinals are inaccessible, hyper inaccessible, hyper hyper inaccessible, and so on.

Қолжетімділіктің екі модельдік-теориялық сипаттамалары

Біріншіден, кардинал κ қолжетімді емес, егер және тек қана κ мынадай шағылысу қасиетке ие болса: кез келген кіші жиын үшін , оның элементтік субструктурасы бар (Шындығында, мұндай α жиыны κ-де жабық және шексіз). Сондықтан, n ≥ 0 үшін ол сипатталмайды. Екінші жағынан, міндетті түрде ординал бола бермейді, егер бұл орындалса, онда ол -інші қолжетімді емес кардинал болуы керек. ZF жүйесінде дәлелдеуге болады, онда шағылысу қасиеті біршама әлсіз, яғни субструктура тек формулалардың шекті жиынтығына қатысты «элементар» болуы керек. Ақырында, бұл әлсіреудің себебі – модельдік теориялық қанағаттану қатынасы ⊧ анықталуы мүмкін болғанымен, семантикалық шындық өзі (яғни ) Тарски теоремасына сәйкес анықталмайды. Екіншіден, ZFC бойынша Zermelo-ның категорикалық теоремасы көрсетіледі, онда кардинал κ қолжетімді емес, егер және тек қана ол екінші реттік ZFC-нің моделі болса. Бұл жағдайда, жоғарыдағы шағылысу қасиетіне сәйкес, мұндай α бар, ол (бірінші реттік) ZFC-нің стандартты моделі болады. Демек, қолжетімді емес кардиналдың болуы ZFC-нің транзитивті моделінің болуынан күштірек гипотеза болып табылады. -ның қолжетімсіздігі – қасиеті, ал кардиналдың қолжетімсіз болуы (берілген модельде ) – қасиеті.

Пайдаланылған әдебиеттер

Please provide the English text and the existing translation reference. I need both to complete the translation as requested.

Just paste them here, like this:

English text: This is an example sentence.
Existing translation reference: Another example sentence. Ағылшынша аудармасы: This is another example.