Пол Джозеф Коэн: Американдық математик және жиын теориясының дамуына қосқан үлесі

Кіріспе

Пауль Джозеф Коэн (2 сәуір 1934 – 23 наурыз 2007) – американдық математик. Ол үздіксіздік гипотезасы мен таңдау аксиомасының Зермело-Франкель жиын теориясынан тәуелсіз екенін дәлелдегенімен әйгілі, осы еңбегі үшін оған Филдс медалі табысталды.

Ерте өмір және білім

Коэн Нью-Джерси штатының Лонг-Бранч қаласында, қазіргі Польшадан Америка Құрама Штаттарына көшіп келген еврей отбасында дүниеге келді; ол Бруклинде өсті. 1950 жылы 16 жасында Нью-Йорк қаласындағы Стьювесант орта мектебін бітірді. Коэн Америка өнер және ғылым академиясының, Америка Құрама Штаттарының Ұлттық ғылым академиясының және Америка философиялық қоғамының мүшесі болды. 1995 жылғы 2 маусымда Коэн Швецияның Уппсала университетінің Ғылым және технология факультетінен құрметті доктор дәрежесін алды.

Мансап

Коэн форсинг деп аталатын математикалық техниканы жасағанымен белгілі, оны ол континуум гипотезасы (CH) немесе таңдау аксиомасы жинақ теориясының стандартты Зермело-Франкель аксиомаларынан (ZF) дәлелденбейтінін көрсету үшін пайдаланды. Бұл, Гёдельдің бұрынғы жұмыстарымен бірге, осы екі мәлімдеме ZF аксиомаларынан логикалық тұрғыдан тәуелсіз екенін көрсетті: оларды осы аксиомалардан дәлелдеу де, жоққа шығару да мүмкін емес. Осыған орай, континуум гипотезасы шешілмейтін мәселе болып табылады және жинақ теориясының стандартты ZF аксиомаларынан тәуелсіз табиғи мәлімдемелердің ең танымал мысалы есебінде жиі келтіріледі. Континуум гипотезасы бойынша алған нәтижелері үшін Коэн 1966 жылы математика саласындағы Филдс медалімен, ал 1967 жылы Ұлттық ғылым медалімен марапатталды. 2022 жылға дейін Коэннің жеңіп алған Филдс медалі математикалық логика саласындағы еңбектері үшін табысталған жалғыз Филдс медалі болып қала береді. Жинақтар теориясындағы жұмысынан өзге, Коэн талдау саласына да көптеген құнды үлес қосты. Ол 1964 жылы «Литлвудтың болжамы және идемпотентті өлшемдер туралы» мақаласы үшін математикалық талдау бойынша Бохер естелік сыйлығына ие болды және Коэн-Хевитт факторлау теоремасына өз атын берді. Коэн Стэнфорд университетінде математика профессоры болды. Ол 1962 жылы Стокгольмде және 1966 жылы Мәскеуде өткен Халықаралық математиктер конгресінде (ICM) шақырылған баяндамашы болды. Лондонның Куин-Мэри университетінің профессоры Ангус МакИнтайр Коэн туралы былай деді: «Ол өте зерек адам еді, және 60-шы жылдардағы мен білген Полға ең қиын мәселеңізді тапсыру үшін өте наив немесе жомарт болу керек еді». Ол Коэнды Курт Гёдельмен салыстырып, «Олардың еңбегінен артық нәрсе бұл ғылым тарихында болған емес» деді. Гёдель өзі 1963 жылы Коэнге хат жазды, оның нұсқасында былай делінген: «Мен сіздің континуум гипотезасының тәуелсіздігін дәлелдеуіңізді оқудан қатты ләззат алатынымды қайталаймын. Менің ойымша, сіз барлық маңызды жағынан ең жақсы дәлелді келтірдіңіз, және мұндай жағдай сирек кездеседі. Сіздің дәлеліңізді оқу маған өте жақсы пьесаны көру сияқты әсер етті».

Cohen is noted for developing a mathematical technique called forcing, which he used to prove that neither the continuum hypothesis (CH) nor the axiom of choice can be proved from the standard Zermelo–Fraenkel axioms (ZF) of set theory. In conjunction with the earlier work of Gödel, this showed that both of these statements are logically independent of the ZF axioms: these statements can be neither proved nor disproved from these axioms. In this sense, the continuum hypothesis is undecidable, and it is the most widely known example of a natural statement that is independent from the standard ZF axioms of set theory. For his result on the continuum hypothesis, Cohen won the Fields Medal in mathematics in 1966, and also the National Medal of Science in 1967. The Fields Medal that Cohen won continues to be the only Fields Medal to be awarded for a work in mathematical logic, as of 2022. Apart from his work in set theory, Cohen also made many valuable contributions to analysis. He was awarded the Bôcher Memorial Prize in mathematical analysis in 1964 for his paper "On a conjecture by Littlewood and idempotent measures", and lends his name to the Cohen–Hewitt factorization theorem. Cohen was a full professor of mathematics at Stanford University. He was an Invited Speaker at the ICM in 1962 in Stockholm and in 1966 in Moscow. Angus MacIntyre of the Queen Mary University of London stated about Cohen: "He was dauntingly clever, and one would have had to be naive or exceptionally altruistic to put one's 'hardest problem' to the Paul I knew in the '60s." He went on to compare Cohen to Kurt Gödel, saying: "Nothing more dramatic than their work has happened in the history of the subject." Gödel himself wrote a letter to Cohen in 1963, a draft of which stated, "Let me repeat that it is really a delight to read your proof of the ind[ependence] of the cont[inuum] hyp[othesis]. I think that in all essential respects you have given the best possible proof & this does not happen frequently. Reading your proof had a similarly pleasant effect on me as seeing a really good play."

Өлім

Коэн мен оның әйелі Кристина (туған тегі Карлс) үш ұл тәрбиеледі. Коэн 2007 жылдың 23 наурызында Калифорния штатындағы Стэнфорд қаласында өкпе ауруынан көз жұмды.