Айналу инерциясының шамасы

Кіріспе

Айналмалық инерцияның тұрақты айналу осьтеріне қатысты скалярлық өлшемі, сондай-ақ "айналмалық өрістік момент" деп те аталатын шама. Инерция моменті, әйтпесе инерттілік массалық моменті, бұрыштық/айналу массасы, массаның екінші моменті немесе ең дәл айтқанда, айналу инерциясы – қатты дененің айналу осьтері бойынша қажетті бұрыштық үдеуді алу үшін қандай айналу моменті қажет екенін анықтайтын шама. Бұл массаның қалай қажетті үдеуді алу үшін қандай күш қажет екенін анықтайтынымен ұқсас. Ол дененің масса таралуына және таңдалған оське байланысты, ал үлкен моменттер дененің айналу жылдамдығын белгілі бір шамаға өзгерту үшін көбірек айналу моментін талап етеді. Бұл кеңейтілген (қосылатын) қасиет: нүктелік масса үшін инерция моменті – массаның айналу осьтеріне перпендикуляр қашықтықтың квадратына тең. Қатты күрделі жүйенің инерция моменті оның құрамдас бөліктерінің (барлығы бір ось бойынша) инерция моменттерінің қосындысы болып табылады. Оның ең қарапайым анықтамасы – осьтен қашықтыққа қатысты массаның екінші моменті. Жазықтықта айналумен шектелген денелер үшін олардың жазықтыққа перпендикуляр ось бойынша инерция моменті, яғни скалярлық мәні ғана маңызды. Үш өлшемде еркін айналатын денелер үшін олардың моменттерін симметриялық 3x3 матрицамен сипаттауға болады, онда осы матрица диагональды және осьтер айналасындағы айналу моменттері бір-біріне тәуелсіз әрекет ететін өзара перпендикуляр бас осьтер жиынтығы бар. Механикалық инженерияда "инерция" сөзі көбінесе "инерциялық масса" немесе "инерция моменті" дегенді білдіреді.

Кіріспе

Егер дене бір осьтің айналасында еркін айналса, оның бұрыштық импульсын өзгерту үшін айналу моментын қолдану қажет. Кез келген берілген бұрыштық үдеуді (бұрыштық жылдамдықтың өзгеру жылдамдығы) тудыруға қажетті айналу моменті дененің инерция моментіне пропорционалды. Инерция моменттерін SI жүйесінде килограмм-метр квадрат (кг·м²) және британдық немесе американдық жүйесінде фунт-фут-секунд квадрат (lbf·ft·s²) бірліктерімен көрсетуге болады. Инерция моменті айналу кинематикасында массаның (инерция) тура сызықты кинематикада атқаратын рөлін атқарады – екеуі де дененің қозғалысындағы өзгерістерге қарсы келуін сипаттайды. Инерция моменті массаның айналу осінің айналасына қалай орналасқандығына байланысты және таңдалған оське байланысты өзгереді. Нүктелік масса үшін кез келген ось бойынша инерция моменті , мұндағы – нүктенің осьтен алыс қашықтығы, ал – масса. Ұзартылған қатаң дене үшін инерция моменті – айналу осінен олардың қашықтығының квадратына көбейтілген барлық кішкентай масса бөліктерінің қосындысы. Тұрақты пішіндегі және біртекті тығыздықтағы ұзартылған дене үшін бұл қосынды кейде нысанның өлшемдеріне, пішініне және жалпы массасына байланысты жай өрнек береді. 1673 жылы Христиан Гюйгенс бұл параметрді құрама маятник деп аталатын тіреу нүктесінен ілінген дененің тербелісін зерттеуінде енгізді. Инерция моменті термині ("momentum inertiae" латын тілінде) 1765 жылы Леонард Эйлер өзінің "Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum" кітабында енгізді және ол Эйлердің екінші заңына кіріктірілген. Құрама маятниктің табиғи тербеліс жиілігі маятник массасына гравитация күшінің тудырған айналу моментыне, инерция моментімен анықталған үдеуге қарсылықтың қатынасынан шығарылады. Бұл табиғи жиілікті бір ғана масса нүктесінен тұратын қарапайым маятник жиілігімен салыстыру ұзартылған дененің инерция моменті үшін математикалық формула береді. Инерция моменті сондай-ақ импульс, кинетикалық энергияда және қатаң дененің қозғалысының Ньютон заңдарында оның пішіні мен массасын біріктіретін физикалық параметр ретінде де пайда болады. Инерция моментінің жазықтық және кеңістіктік қозғалыста көріну әдісінде қызықты айырмашылық бар. Жазықтық қозғалыста инерция моментін анықтайтын бір скаляр болады, ал кеңістіктік қозғалыста бірдей есептеулер инерция моменттерінің 3 × 3 матрицасын береді, ол инерция матрицасы немесе инерция тензоры деп аталады. Айналмалы дөңгелектің инерция моменті машинада оның айналу шығысын тегістеу үшін қолданылатын айналу моментынің өзгеруіне қарсы тұру үшін қолданылады. Ұшақтың бойлық, көлденең және тік осьтері бойынша инерция моменттері оның қанаттарының, рульдерінің және лифттерінің басқару беттеріндегі басқару күштерінің ұшақтың домалану, көтерілу және бағытталған қозғалысына қалай әсер ететінін анықтайды.

When a body is free to rotate around an axis, torque must be applied to change its angular momentum. The amount of torque needed to cause any given angular acceleration (the rate of change in angular velocity) is proportional to the moment of inertia of the body. Moments of inertia may be expressed in units of kilogram metre squared (kg·m2) in SI units and pound foot second squared (lbf·ft·s2) in imperial or US units. The moment of inertia plays the role in rotational kinetics that mass (inertia) plays in linear kinetics—both characterize the resistance of a body to changes in its motion. The moment of inertia depends on how mass is distributed around an axis of rotation, and will vary depending on the chosen axis. For a point like mass, the moment of inertia about some axis is given by , where is the distance of the point from the axis, and is the mass. For an extended rigid body, the moment of inertia is just the sum of all the small pieces of mass multiplied by the square of their distances from the axis in rotation. For an extended body of a regular shape and uniform density, this summation sometimes produces a simple expression that depends on the dimensions, shape and total mass of the object. In 1673, Christiaan Huygens introduced this parameter in his study of the oscillation of a body hanging from a pivot, known as a compound pendulum. The term moment of inertia ("momentum inertiae" in Latin) was introduced by Leonhard Euler in his book Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum in 1765, and it is incorporated into Euler's second law. The natural frequency of oscillation of a compound pendulum is obtained from the ratio of the torque imposed by gravity on the mass of the pendulum to the resistance to acceleration defined by the moment of inertia. Comparison of this natural frequency to that of a simple pendulum consisting of a single point of mass provides a mathematical formulation for moment of inertia of an extended body. The moment of inertia also appears in momentum, kinetic energy, and in Newton's laws of motion for a rigid body as a physical parameter that combines its shape and mass. There is an interesting difference in the way moment of inertia appears in planar and spatial movement. Planar movement has a single scalar that defines the moment of inertia, while for spatial movement the same calculations yield a 3 × 3 matrix of moments of inertia, called the inertia matrix or inertia tensor. The moment of inertia of a rotating flywheel is used in a machine to resist variations in applied torque to smooth its rotational output. The moment of inertia of an airplane about its longitudinal, horizontal and vertical axes determine how steering forces on the control surfaces of its wings, elevators and rudder(s) affect the plane's motions in roll, pitch and yaw.

Құрама маятниктер

Құрама маятник – үздіксіз пішінді бөлшектер жиынтығынан құралған дене, ол белгілі бір ось маңында қатаң түрде айналады. Оның инерция моменты құрамындағы әрбір бөлшектің инерция моменттерінің қосындысына тең. Құрама маятниктің табиғи жиілігі оның инерция моментына тәуелді, мұндағы – дененің массасы, – жергілікті гравитациялық үдеу, ал – айналу нүктесінен дененің масса орталығына дейінгі қашықтық. Шағын бұрыштық орын ауыстырулардағы тербеліс жиілігін өлшеу денелердің инерция моментын анықтаудың тиімді тәсілін ұсынады. Үшжіпті маятниктің тербеліс периоды жүйенің инерция моментын көрсетеді.

Әр түрлі эталондық жүйелердегі инерция матрицасы

Нютонның екінші заңында инерция матрицасын қолдану, оның компоненттері инерциялық жүйеге параллель осьтерге қатысты есептеледі, ал денеге бекітілген координаттар жүйесіне емес. Ең жоғары инерция моментіне ие негізгі ось кейде фигура осі немесе пішін осі деп аталады. Айналмалы қатты дененің мысалы – ойыншық айналдырғыш, ал «айналдырғыш» сөзі қатты денелердің түрлерін атау үшін қолданылады. Барлық негізгі инерция моменттері әртүрлі болғанда, масса орталығы арқылы өтетін негізгі осьтер бірегей түрде анықталады және бұл қатты дене асимметриялық айналдырғыш деп аталады. Егер екі негізгі момент тең болса, онда қатты дене симметриялық айналдырғыш деп аталады және сәйкес екі негізгі осьтің бірегей таңдауы жоқ. Егер барлық үш негізгі момент тең болса, онда қатты дене шар тәрізді айналдырғыш деп аталады (ол міндетті түрде шар формасында болмаса да) және кез келген осьті негізгі ось деп санауға болады, яғни инерция моменті кез келген ось үшін бірдей болады. Негізгі осьтер көбінесе дененің симметрия осьтерімен сәйкес келеді. Егер қатты дененің белгілі бір ретті симметрия осі болса, яғни берілген осьтің айналуы бойынша симметриялы болса, онда бұл ось негізгі ось болып табылады. Егер , онда қатты дене симметриялық айналдырғыш болып табылады. Егер қатты дененің бір-біріне параллель немесе перпендикуляр болмайтын кемінде екі симметрия осі болса, онда ол шар тәрізді айналдырғыш болып табылады, мысалы, куб немесе кез келген басқа Платон денесі. Көлік құралдарының қозғалысы көбінесе үш негізгі осьтің айналуына сәйкес келетін крен, тангаж және рыскание (yaw) терминдерімен сипатталады. Егер көлік құралының екі жақты симметриясы болса, онда негізгі осьтердің бірі көлденең (тангаж) оське дәл сәйкес келеді. Бұл математикалық құбылыстың практикалық мысалы – автомобильде дөңгелекті теңестіру, яғни автомобиль дөңгелегінің массасының таралуын реттеу, осылайша оның негізгі инерция осі дөңгелектің дірілдемеуі үшін осьпен сәйкестендіріледі. Айналмалы молекулалар да асимметриялық, симметриялық немесе шар тәрізді айналдырғыштар ретінде жіктеледі және олардың айналу спектрлерінің құрылымы әр тип үшін әртүрлі болады.

The use of the inertia matrix in Newton's second law assumes its components are computed relative to axes parallel to the inertial frame and not relative to a body fixed reference frame. The principal axis with the highest moment of inertia is sometimes called the figure axis or axis of figure. A toy top is an example of a rotating rigid body, and the word top is used in the names of types of rigid bodies. When all principal moments of inertia are distinct, the principal axes through center of mass are uniquely specified and the rigid body is called an asymmetric top. If two principal moments are the same, the rigid body is called a symmetric top and there is no unique choice for the two corresponding principal axes. If all three principal moments are the same, the rigid body is called a spherical top (although it need not be spherical) and any axis can be considered a principal axis, meaning that the moment of inertia is the same about any axis. The principal axes are often aligned with the object's symmetry axes. If a rigid body has an axis of symmetry of order , meaning it is symmetrical under rotations of [[turn (geometry) about the given axis, that axis is a principal axis. When , the rigid body is a symmetric top. If a rigid body has at least two symmetry axes that are not parallel or perpendicular to each other, it is a spherical top, for example, a cube or any other Platonic solid. The motion of vehicles is often described in terms of yaw, pitch, and roll which usually correspond approximately to rotations about the three principal axes. If the vehicle has bilateral symmetry then one of the principal axes will correspond exactly to the transverse (pitch) axis. A practical example of this mathematical phenomenon is the routine automotive task of balancing a tire, which basically means adjusting the distribution of mass of a car wheel such that its principal axis of inertia is aligned with the axle so the wheel does not wobble. Rotating molecules are also classified as asymmetric, symmetric, or spherical tops, and the structure of their rotational spectra is different for each type.