Момент инерции: определение и свойства

Введение

Скалярная мера вращательной инерции относительно фиксированной оси вращения – величина, также известная как "площадный момент инерции". Момент инерции, также называемый массовым моментом инерции, угловой/вращательной массой, вторым моментом массы или, наиболее точно, вращательной инерцией, – это характеристика твёрдого тела, определяющая крутящий момент, необходимый для достижения заданного углового ускорения относительно оси вращения, подобно тому, как масса определяет силу, необходимую для достижения заданного линейного ускорения. Момент инерции зависит от распределения массы тела и выбранной оси вращения: чем больше момент инерции, тем больший крутящий момент требуется для изменения скорости вращения тела на заданную величину. Это аддитивное свойство: для точечной массы момент инерции равен произведению массы на квадрат перпендикулярного расстояния до оси вращения. Момент инерции жёсткой составной системы равен сумме моментов инерции её составных частей (все вычисленные относительно одной и той же оси). Его наиболее простое определение – второй момент массы относительно расстояния от оси. Для тел, вращающихся в плоскости, важен только момент инерции относительно оси, перпендикулярной этой плоскости, который является скалярной величиной. Для тел, свободно вращающихся в трёх измерениях, их моменты инерции могут быть описаны симметричной матрицей 3x3, с набором взаимно перпендикулярных главных осей, для которых эта матрица диагональна, и крутящие моменты вокруг этих осей действуют независимо друг от друга. В машиностроении термин "инерция" часто используется для обозначения "инерциальной массы" или "момента инерции".

Введение

Когда тело свободно вращается вокруг оси, для изменения его углового момента необходимо приложить крутящий момент. Величина крутящего момента, требуемая для создания заданного углового ускорения (скорости изменения угловой скорости), пропорциональна моменту инерции тела. Моменты инерции могут быть выражены в единицах килограмм-метр квадратный (кг·м²) в системе СИ и фунт-фут-секунда квадратная (lbf·ft·s²) в имперских или американских единицах. Момент инерции играет в кинетике вращения ту же роль, что и масса (инерция) в линейной кинетике — оба характеризуют сопротивление тела изменению его движения. Момент инерции зависит от того, как распределена масса относительно оси вращения, и будет меняться в зависимости от выбранной оси. Для точечной массы момент инерции относительно некоторой оси определяется как , где — расстояние от точки до оси, а — масса. Для протяженного жесткого тела момент инерции представляет собой сумму произведений малых элементарных масс на квадраты их расстояний от оси вращения. Для протяженного тела правильной формы и однородной плотности эта сумма иногда приводит к простому выражению, зависящему от размеров, формы и общей массы объекта. В 1673 году Христиан Гюйгенс ввел этот параметр в своем исследовании колебаний тела, подвешенного на оси, известном как составной маятник. Термин «момент инерции» («momentum inertiae» на латыни) был введен Леонардом Эйлером в его книге «Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum» в 1765 году и включен во второй закон Эйлера. Собственная частота колебаний составного маятника определяется как отношение крутящего момента, создаваемого гравитацией на массу маятника, к сопротивлению ускорению, определяемому моментом инерции. Сравнение этой собственной частоты с частотой простого маятника, состоящего из одной точечной массы, дает математическую формулировку момента инерции протяженного тела. Момент инерции также появляется в импульсе, кинетической энергии и в законах Ньютона для движения жесткого тела как физический параметр, объединяющий его форму и массу. Существует интересное различие в том, как момент инерции проявляется в плоском и пространственном движении. Плоское движение характеризуется одним скаляром, определяющим момент инерции, в то время как для пространственного движения те же вычисления приводят к матрице 3x3 моментов инерции, называемой матрицей инерции или тензором инерции. Момент инерции вращающегося маховика используется в машинах для сглаживания вращательного выхода путем сопротивления изменениям приложенного крутящего момента. Моменты инерции самолета относительно его продольной, поперечной и вертикальной осей определяют, как управляющие силы, действующие на рули крыльев, рули высоты и руль направления, влияют на движения самолета в рыскании, тангаже и крене.

When a body is free to rotate around an axis, torque must be applied to change its angular momentum. The amount of torque needed to cause any given angular acceleration (the rate of change in angular velocity) is proportional to the moment of inertia of the body. Moments of inertia may be expressed in units of kilogram metre squared (kg·m2) in SI units and pound foot second squared (lbf·ft·s2) in imperial or US units. The moment of inertia plays the role in rotational kinetics that mass (inertia) plays in linear kinetics—both characterize the resistance of a body to changes in its motion. The moment of inertia depends on how mass is distributed around an axis of rotation, and will vary depending on the chosen axis. For a point like mass, the moment of inertia about some axis is given by , where is the distance of the point from the axis, and is the mass. For an extended rigid body, the moment of inertia is just the sum of all the small pieces of mass multiplied by the square of their distances from the axis in rotation. For an extended body of a regular shape and uniform density, this summation sometimes produces a simple expression that depends on the dimensions, shape and total mass of the object. In 1673, Christiaan Huygens introduced this parameter in his study of the oscillation of a body hanging from a pivot, known as a compound pendulum. The term moment of inertia ("momentum inertiae" in Latin) was introduced by Leonhard Euler in his book Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum in 1765, and it is incorporated into Euler's second law. The natural frequency of oscillation of a compound pendulum is obtained from the ratio of the torque imposed by gravity on the mass of the pendulum to the resistance to acceleration defined by the moment of inertia. Comparison of this natural frequency to that of a simple pendulum consisting of a single point of mass provides a mathematical formulation for moment of inertia of an extended body. The moment of inertia also appears in momentum, kinetic energy, and in Newton's laws of motion for a rigid body as a physical parameter that combines its shape and mass. There is an interesting difference in the way moment of inertia appears in planar and spatial movement. Planar movement has a single scalar that defines the moment of inertia, while for spatial movement the same calculations yield a 3 × 3 matrix of moments of inertia, called the inertia matrix or inertia tensor. The moment of inertia of a rotating flywheel is used in a machine to resist variations in applied torque to smooth its rotational output. The moment of inertia of an airplane about its longitudinal, horizontal and vertical axes determine how steering forces on the control surfaces of its wings, elevators and rudder(s) affect the plane's motions in roll, pitch and yaw.

Соединенные маятники

Составной маятник – это тело, образованное из сплошной сборки частиц, вращающихся жестко вокруг точки подвеса. Его момент инерции равен сумме моментов инерции всех частиц, составляющих его. Собственная частота колебаний составного маятника зависит от его момента инерции, где *m* – масса объекта, *g* – ускорение свободного падения, а *h* – расстояние от точки подвеса до центра масс объекта. Измерение этой частоты колебаний при малых углах отклонения предоставляет эффективный способ определения момента инерции тела. Период колебаний трифилярного маятника позволяет определить момент инерции системы.

Матрица инерции в различных системах отсчета

Использование матрицы инерции во втором законе Ньютона подразумевает, что её компоненты вычисляются относительно осей, параллельных инерциальной системе отсчёта, а не относительно системы отсчёта, связанной с телом. Основная ось с наибольшим моментом инерции иногда называется осью фигуры или главной осью. Игрушечный волчок – пример вращающегося твёрдого тела, а слово «волчок» используется в названиях типов твёрдых тел. Когда все главные моменты инерции различны, главные оси, проходящие через центр масс, однозначно определены, и твёрдое тело называется асимметричным волчком. Если два главных момента инерции равны, твёрдое тело называется симметричным волчком, и не существует однозначного выбора для двух соответствующих главных осей. Если все три главных момента инерции равны, твёрдое тело называется сферическим волчком (хотя оно не обязательно должно быть сферическим), и любую ось можно считать главной осью, что означает, что момент инерции одинаков относительно любой оси. Главные оси часто совпадают с осями симметрии объекта. Если твёрдое тело имеет ось симметрии порядка , то есть оно симметрично относительно вращений на угол вокруг данной оси, эта ось является главной осью. Когда , твёрдое тело является симметричным волчком. Если твёрдое тело имеет по крайней мере две оси симметрии, которые не параллельны и не перпендикулярны друг другу, то это сферический волчок, например, куб или любое другое платоново тело. Движение транспортных средств часто описывается в терминах рыскания, тангажа и крена, которые обычно приблизительно соответствуют вращениям вокруг трёх главных осей. Если транспортное средство обладает билатеральной симметрией, то одна из главных осей будет точно совпадать с поперечной (тангажной) осью. Практическим примером этого математического явления является обычная автомобильная задача балансировки шины, которая по сути означает регулировку распределения массы автомобильного колеса таким образом, чтобы его главная ось инерции была выровнена с осью вращения, чтобы колесо не шаталось. Вращающиеся молекулы также классифицируются как асимметричные, симметричные или сферические волчки, и структура их вращательных спектров различна для каждого типа.

The use of the inertia matrix in Newton's second law assumes its components are computed relative to axes parallel to the inertial frame and not relative to a body fixed reference frame. The principal axis with the highest moment of inertia is sometimes called the figure axis or axis of figure. A toy top is an example of a rotating rigid body, and the word top is used in the names of types of rigid bodies. When all principal moments of inertia are distinct, the principal axes through center of mass are uniquely specified and the rigid body is called an asymmetric top. If two principal moments are the same, the rigid body is called a symmetric top and there is no unique choice for the two corresponding principal axes. If all three principal moments are the same, the rigid body is called a spherical top (although it need not be spherical) and any axis can be considered a principal axis, meaning that the moment of inertia is the same about any axis. The principal axes are often aligned with the object's symmetry axes. If a rigid body has an axis of symmetry of order , meaning it is symmetrical under rotations of [[turn (geometry) about the given axis, that axis is a principal axis. When , the rigid body is a symmetric top. If a rigid body has at least two symmetry axes that are not parallel or perpendicular to each other, it is a spherical top, for example, a cube or any other Platonic solid. The motion of vehicles is often described in terms of yaw, pitch, and roll which usually correspond approximately to rotations about the three principal axes. If the vehicle has bilateral symmetry then one of the principal axes will correspond exactly to the transverse (pitch) axis. A practical example of this mathematical phenomenon is the routine automotive task of balancing a tire, which basically means adjusting the distribution of mass of a car wheel such that its principal axis of inertia is aligned with the axle so the wheel does not wobble. Rotating molecules are also classified as asymmetric, symmetric, or spherical tops, and the structure of their rotational spectra is different for each type.