Кіріспе
Математикада екі функцияны топологиялық конъюгациялайтын деп атайды, егер бірін екіншісіне конъюгациялайтын гомеоморфизм болса. Топологиялық конъюгация және байланысты, бірақ ағындардан ерекшеленетін, қайталанатын функциялар мен жалпы динамикалық жүйелерді зерттеуде маңызды, өйткені егер бір қайталанатын функцияның динамикасын анықтауға болады, онда топологиялық конъюгацияланған функция үшін бұл қарапайым түрде болады. Мұны тікелей көрсету үшін: және итерацияланған функциялар деп есептеңіз, және ондай гомеоморфизм бар, сондықтан және топологиялық конъюгацияланған. Сонда бірде болуы керек және қайталанатын жүйелер топологиялық жағынан конъюгацияланған. Бұл жерде функция құрамын білдіреді.
so that and are topologically conjugate. Then one must have
and so the iterated systems are topologically conjugate as well. Here, denotes function composition.
Анықтама
, және топологиялық кеңістіктердегі үздіксіз функциялар, және топологиялық жартылай конъюгацияланған болу, анықтамасы бойынша, бұл мұндай сюръекция және топологиялық конъюгацияланған болу, анықтамасы бойынша, олар топологиялық жартылай конъюгацияланған және сонымен қатар инъективті, содан кейін биективті, ал оның керісі де үздіксіз; яғни гомеоморфизм; одан әрі, және арасындағы топологиялық конъюгация деп аталады .
being topologically semiconjugate to means, by definition, that is a surjection such that
and being topologically conjugate means, by definition, that they are topologically semiconjugate and is furthermore injective, then bijective, and its inverse is continuous too; i. e. is a homeomorphism; further, is termed a topological conjugation between and .
Ағыстар
Сол сияқты, және жоғарыда көрсетілгендей, және жоғарыда көрсетілгендей, және жоғарыда көрсетілгендей ағындар. Топологиялық жағынан жартылай қосылған болу, анықтамасы бойынша, бұл , әрқайсысы үшін , және топологиялық жағынан қосылған болу, анықтамасы бойынша, олар топологиялық жағынан жартылай қосылған және h гомеоморфизм.
and being topologically conjugate means, by definition, that they are topologically semiconjugate and h is a homeomorphism.
Мысалдар
Логистикалық карта мен шатыр картасы топологиялық жағынан конъюгацияланған. Биіктік бірлігінің логистикалық картасы мен Бернулли картасы топологиялық жағынан конъюгацияланған. Параметр кеңістігіндегі белгілі бір мәндер үшін, Hénon картасы өзінің Джулия жиынына шектелген кезде, екі символдағы екі жақты тізбектер кеңістігіндегі ауысу картасына топологиялық түрде конъюгат немесе жартылай конъюгат болады.
Талқылау
Топологиялық конъюгация жартылай конъюгациядан айырмашылығы топологиялық кеңістіктің барлық үздіксіз сюръекцияларының кеңістігіндегі эквиваленттік қатынасты, егер олар топологиялық конъюгацияланса, оны жариялау және байланысты болу арқылы анықтайды. Бұл эквиваленттік қатынас динамикалық жүйелер теориясында өте пайдалы, өйткені әрбір сыныпта топологиялық тұрғыдан бірдей динамикаға ие барлық функциялар бар. Мысалы, орбиталар конъюгация арқылы гомеоморфты орбиталарға картаға түсіріледі. Жазу бұл фактіні анық көрсетеді: Бейресми сөйлеуде топологиялық конъюгация топологиялық мағынада "координаттардың өзгеруі" болып табылады. Алайда, ағымдар үшін ұқсас анықтама біршама шектеулі. Шын мәнінде, біз карталарды және әрқайсысы үшін топологиялық конъюгация қажет етеміз, бұл тек орбиталар ғана емес, орбиталар үшін гомеоморфты түрде картаға түсіріледі. Бұл топологиялық эквиваленттілік анықтамасын ынталандырады, ол сонымен қатар барлық ағымдардың жиынтығын бірдей динамикаға ие ағымдар кластарына бөледі, тағы да топологиялық тұрғыдан.
Топологиялық баламалық
Екі ағынды және топологиялық жағынан тең, егер гомеоморфизм болса, орбиталарды гомеоморфикалық түрде орбиталарға карталау және орбиталардың бағытын сақтау. Басқаша айтқанда, орбитаны белгілеуге рұқсат беру, әрқайсысы үшін бар Сонымен қатар, уақыт ағынын туралау керек: әрқайсысы үшін , егер , және s болса, онда , онда Топологиялық баламалық топологиялық конъюгациядан гөрі әлсіз баламалық критерий болып табылады, өйткені ол орбиталар мен олардың бағытымен бірге уақыт терминінің картаға түсірілуін талап етпейді. Топологиялық жағынан тең, бірақ топологиялық жағынан конъюгацияланбаған жүйенің мысалы - жабық орбиталары бар дифференциалдық теңдеулердің екі өлшемді жүйелерінің гиперболалық емес класы. Орбиталар бір-біріне кеңістіктік мағынада ауысып кету үшін түрлендірілуі мүмкін болса да, мұндай жүйелердің кезеңдері аналогты түрде сәйкес келмеуі мүмкін, сондықтан топологиялық эквиваленттік критерийін қанағаттандыру кезінде топологиялық конъюгация критерийін қанағаттандыруға болмайды.
for each In addition, one must line up the flow of time: for each , there exists a such that, if , and if s is such that , then
Overall, topological equivalence is a weaker equivalence criterion than topological conjugacy, as it does not require that the time term is mapped along with the orbits and their orientation. An example of a topologically equivalent but not topologically conjugate system would be the non hyperbolic class of two dimensional systems of differential equations that have closed orbits. While the orbits can be transformed to each other to overlap in the spatial sense, the periods of such systems cannot be analogously matched, thus failing to satisfy the topological conjugacy criterion while satisfying the topological equivalence criterion.