Введение
В математике две функции называются топологически конъюгированными, если существует гомеоморфизм, который будет конъюгировать одну в другую. Топологическая конъюгация и связанные, но отличные от них потоки важны в изучении итерационных функций и более общих динамических систем, поскольку, если динамика одной итерационной функции может быть определена, то топологически конъюгированная функция следует тривиально. Чтобы проиллюстрировать это напрямую: предположим, что и итерационные функции, и существует такой гомеоморфизм, что так что и топологически конъюгированные. Тогда нужно иметь и поэтому итерационные системы также топологически конъюгированы. Здесь, обозначает состав функции.
so that and are topologically conjugate. Then one must have
and so the iterated systems are topologically conjugate as well. Here, denotes function composition.
Определение
, и являются непрерывными функциями на топологических пространствах, и топологически полуконъюгированными означают, по определению, что это такое сверхпредложение, что и топологически конъюгированными означает, по определению, что они топологически полуконъюгированны и, кроме того, инъективны, затем биективны, и его обратная часть также непрерывна; то есть является гомеоморфизмом; далее, называется топологической конъюгацией между и .
being topologically semiconjugate to means, by definition, that is a surjection such that
and being topologically conjugate means, by definition, that they are topologically semiconjugate and is furthermore injective, then bijective, and its inverse is continuous too; i. e. is a homeomorphism; further, is termed a topological conjugation between and .
Потоки
Аналогично, на , и на являются потоками, с , и как выше. топологически полусоединенными означает, по определению, что это такое присоединение, что , для каждого , и топологически соединенными означает, по определению, что они топологически полусоединены, и h является гомеоморфизмом.
and being topologically conjugate means, by definition, that they are topologically semiconjugate and h is a homeomorphism.
Примеры
Логистическая карта и палаточная карта топологически конъюгированы. Логистическая карта единицы высоты и карта Бернулли топологически конъюгированы. Для определенных значений в параметрическом пространстве карта Хенона, когда она ограничена своим множеством Юлии, топологически конъюгирована или полуконъюгирована с картой сдвига в пространстве двухсторонних последовательностей в двух символах.
Обсуждение
Топологическая конъюгация в отличие от полуконъюгации определяет отношение эквивалентности в пространстве всех непрерывных сюръекций топологического пространства к самому себе, объявляя и относясь, если они топологически конъюгированы. Эта эквивалентная связь очень полезна в теории динамических систем, поскольку каждый класс содержит все функции, которые имеют одну и ту же динамику с топологической точки зрения. Например, орбиты из отображаются на гомеоморфные орбиты через конъюгацию. Писание делает этот факт очевидным: говоря неофициально, топологическая конъюгация - это "изменение координат" в топологическом смысле. Однако аналогичное определение для потоков является несколько ограничительным. Фактически, мы требуем, чтобы карты и были топологически конъюгированы для каждого , что требует больше, чем просто отображение орбит a на орбиты a гомеоморфно. Это мотивирует определение топологической эквивалентности, которое также разделяет набор всех потоков на классы потоков, имеющих одинаковую динамику, опять же с топологической точки зрения.
Топологическая эквивалентность
Мы говорим, что два потока и топологически эквивалентны, если есть гомеоморфизм, отображая орбиты из орбит гомеоморфически и сохраняя ориентацию орбит. Другими словами, позволяя обозначить орбиту, для каждой из них необходимо выровнять поток времени: для каждой из них существует такая, что, если , и если s такое, что , то в целом топологическая эквивалентность является более слабым критерием эквивалентности, чем топологическая конъюгация, поскольку она не требует, чтобы временной термин отображался вместе с орбитами и их ориентацией. Примером топологически эквивалентной, но не топологически конъюгированной системы будет негиперболический класс двухмерных систем дифференциальных уравнений, которые имеют закрытые орбиты. Хотя орбиты могут быть преобразованы друг в друга, чтобы перекрываться в пространственном смысле, периоды таких систем не могут быть аналогично совпадают, таким образом, не удовлетворяя топологическому критерию конъюгации, удовлетворяя топологическому критерию эквивалентности.
for each In addition, one must line up the flow of time: for each , there exists a such that, if , and if s is such that , then
Overall, topological equivalence is a weaker equivalence criterion than topological conjugacy, as it does not require that the time term is mapped along with the orbits and their orientation. An example of a topologically equivalent but not topologically conjugate system would be the non hyperbolic class of two dimensional systems of differential equations that have closed orbits. While the orbits can be transformed to each other to overlap in the spatial sense, the periods of such systems cannot be analogously matched, thus failing to satisfy the topological conjugacy criterion while satisfying the topological equivalence criterion.