Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Сандар теориясында, Старк жорамалдары, оны енгізген және кейіннен кеңейткен, алгебралық сандар өрістерінің Галуа кеңейтуі K/k-мен байланысты Артин L функциясының Тейлор кеңейтуіндегі жетекші терминнің коэффициенті туралы жорамалдық ақпарат береді. Болжамдар сандық өрістің Дедекинд zeta функциясы үшін Тейлор сериясының жетекші коэффициентін өрістің S бірліктері мен рационалды санға қатысты реттеушінің көбейтіндісі ретінде көрсететін аналитикалық сыныптық сандық формуланы жалпылайды. K/k абельдік кеңейту болғанда және L функциясының s = 0-дегі жоғалу тәртібі бір болса, Старк өзінің болжамын жетілдіріп, белгілі бір S бірліктерінің болуын болжады, олар Старк бірліктері деп аталады, олар сандық өрістердің абельдік кеңейтулерін тудырады.
In number theory, the Stark conjectures, introduced by and later expanded by , give conjectural information about the coefficient of the leading term in the Taylor expansion of an Artin L function associated with a Galois extension K/k of algebraic number fields. The conjectures generalize the analytic class number formula expressing the leading coefficient of the Taylor series for the Dedekind zeta function of a number field as the product of a regulator related to S units of the field and a rational number. When K/k is an abelian extension and the order of vanishing of the L function at s = 0 is one, Stark gave a refinement of his conjecture, predicting the existence of certain S units, called Stark units, which generate abelian extensions of number fields.
Жалпы жағдай
Старк болжамы, ең жалпы түрінде, Артин L функциясының жетекші коэффициенті - реттеушінің бір түрі, Старк реттеуші, алгебралық санмен көбейтеді деп болжайды.
The Stark conjectures, in the most general form, predict that the leading coefficient of an Artin L function is the product of a type of regulator, the Stark regulator, with an algebraic number.
Абельдік бірінші қатарлы жағдай
Егер кеңейту абельдік болса және L функциясының s = 0-дегі жоғалу тәртібі бір болса, Старктың тазартылған болжамы Старк бірліктерінің болуын болжайды, олардың тамырлары K-дің абельдік кеңейтулерін тудырады, олар k базалық өрісте (және тек K-ге абельдік емес, бұл Кумер теориясы білдіреді). Осылайша, оның болжамын жетілдірудің гильберттің он екінші проблемасын шешуде теориялық әсері бар.
When the extension is abelian and the order of vanishing of an L function at s = 0 is one, Stark's refined conjecture predicts the existence of Stark units, whose roots generate Kummer extensions of K that are abelian over the base field k (and not just abelian over K, as Kummer theory implies). As such, this refinement of his conjecture has theoretical implications for solving Hilbert's twelfth problem.
Есептеу
Абельдік бірінші орынды бірліктердің нақты мысалдары есептелген, бұл оның тазартылған болжамдарының шынайылығын тексеруге мүмкіндік береді. Бұлар сандық өрістердің абельдік кеңейтулерін құру үшін маңызды есептеу құралын ұсынады, олар сандық өрістердің абельдік кеңейтулерін есептеу үшін кейбір стандартты алгоритмдер үшін негіз болады. Бірінші қатардағы нөлдік жағдайлар PARI/GP компьютерлік алгебра жүйесінің соңғы нұсқаларында толықтай нақты сандар өрістерінің Хилберт кластық өрістерін есептеу үшін қолданылады, ал болжамдар Хилберттің он екінші мәселесіне бір шешім береді, бұл математиктерді күрделі талдау әдістерімен кез-келген сан өрісі бойынша кластық өрістерді қалай құрастыруға болатынын көрсетуге шақырады.
Stark units in the abelian rank one case have been computed in specific examples, allowing verification of the veracity of his refined conjecture. These also provide an important computational tool for generating abelian extensions of number fields, forming the basis for some standard algorithms for computing abelian extensions of number fields. The first rank zero cases are used in recent versions of the PARI/GP computer algebra system to compute Hilbert class fields of totally real number fields, and the conjectures provide one solution to Hilbert's twelfth problem, which challenged mathematicians to show how class fields may be constructed over any number field by the methods of complex analysis.
Алға қарай
Старктің негізгі болжамдары бірнеше ерекше жағдайларда дәлелденді, мысалы L функциясын анықтайтын таңба тек рационалдық мәндерді қабылдағанда. Базалық өріс рационалдық сандар өрісі немесе елестетілген квадраттық өріс болған кезде, олар Старктің жұмысында қамтылған, абельдік Старк болжамы сан өрістері үшін әлі дәлелденбеген. Алгебралық түрлiлiктiң функциялық өрістерiнде көп прогреске қол жеткiзiлдi. Старктың болжамдарын Ален Коннның коммутативті емес геометриясына байланыстырды. Бұл болжамдарды зерттеу үшін тұжырымдамалық негіздеме береді, бірақ қазіргі уақытта Маниннің әдістері нақты дәлелді береді ме, жоқ па, белгісіз.
Stark's principal conjecture has been proven in a few special cases, such as when the character defining the L function takes on only rational values. Except when the base field is the field of rational numbers or an imaginary quadratic field, which were covered in the work of Stark, the abelian Stark conjectures is still unproved for number fields. More progress has been made in function fields of an algebraic variety. related Stark's conjectures to the noncommutative geometry of Alain Connes. This provides a conceptual framework for studying the conjectures, although at the moment it is unclear whether Manin's techniques will yield the actual proof.
Вариациялар
1980 жылы Бенедикт Гросс Гросс-Старк жорамасы, Делинье-Рибет L функцияларының туындыларын (толық нақты сандар өрістерінің толық жұп таңбалары үшін) p бірліктеріне байланысты Старк жорамалдарының п аналогы. Бұл 2011 жылы Анри Дармон, Самит Дасгупта және Роберт Поллак шартты түрде дәлелдеді. Дәлелді 2018 жылы Дасгупта, Махеш Какде және Кевин Вентулло аяқтады және шартты емес етті. 1988 жылы Гросс пэдикалық болжамның қосымша жетілдірілуін ұсынды. 1984 жылы Джон Тейт Брумер Старк болжамын жасады, ол Абельдік бірінші қатарлы Старк болжамын толықтай бөлінген шекті алғашқы сандар бойынша (толықтай нақты негіздік өрістердің толықтай күрделі кеңейтулері үшін) жетілдіреді. Брумер-Старк болжамының функциялы өрісінің аналогын Джон Тейт пен Пьер Делинь 1984 жылы дәлелдеді. 2023 жылы Дасгупта мен Какде Брумер-Старк болжамын 2 санынан алыстатып дәлелдеді. 1996 жылы Карл Рубин Абель жағдайында Старк жорамалдың интегралды жетілдірілуін ұсынды. 1999 жылы Кристиан Думитру Попеску Рубиннің болжамдарының функциялы өрісінің аналогын ұсынды және оны кейбір жағдайларда дәлелдеді.
In 1980, Benedict Gross formulated the Gross–Stark conjecture, a p adic analogue of the Stark conjectures relating derivatives of Deligne–Ribet p adic L functions (for totally even characters of totally real number fields) to p units. This was proved conditionally by Henri Darmon, Samit Dasgupta, and Robert Pollack in 2011. The proof was completed and made unconditional by Dasgupta, Mahesh Kakde, and Kevin Ventullo in 2018. A further refinement of the p adic conjecture was proposed by Gross in 1988. In 1984, John Tate formulated the Brumer–Stark conjecture, which gives a refinement of the abelian rank one Stark conjecture at totally split finite primes (for totally complex extensions of totally real base fields). The function field analogue of the Brumer–Stark conjecture was proved by John Tate and Pierre Deligne in 1984. In 2023, Dasgupta and Kakde proved the Brumer–Stark conjecture away from the prime 2. In 1996, Karl Rubin proposed an integral refinement of the Stark conjecture in the abelian case. In 1999, Cristian Dumitru Popescu proposed a function field analogue of Rubin's conjecture and proved it in some cases.