Введение
В теории чисел гипотезы Старка, введенные и позже расширенные, дают гипотетическую информацию о коэффициенте ведущего термина в расширении Тейлора функции L Артина, связанной с расширением Галуа K/k алгебраических числовых полей. Предположения обобщают аналитическую формулу числа класса, выражающую ведущий коэффициент ряда Тейлора для дедекиндовой функции зетта числа поля как произведение регулятора, связанного с S единицами поля и рациональным числом. Когда K/k является абелевым расширением, а порядок исчезновения функции L при s = 0 равен единице, Старк уточнил свою гипотезу, предсказав существование определенных единиц S, называемых единицами Старка, которые генерируют абелевые расширения числовых полей.
Общее положение
Гипотезы Старка, в наиболее общей форме, предсказывают, что ведущий коэффициент функции Артина L является произведением типа регулятора, регулятора Старка, с алгебраическим числом.
Абелевский случай первого ранга
Когда расширение абелево и порядок исчезновения функции L при s = 0 равен 1, то рафинированная гипотеза Старка предсказывает существование единиц Старка, корни которых генерируют кумерские расширения K, которые являются абелевыми над базовым полем k (а не просто абелевыми над K, как предполагает теория Куммера). Таким образом, это уточнение его гипотезы имеет теоретические последствия для решения двенадцатой проблемы Гильберта.
Вычисления
Единицы Старка в абелевом ранге 1 были вычислены в конкретных примерах, что позволило проверить достоверность его утонченной гипотезы. Они также обеспечивают важный вычислительный инструмент для генерации абелевых расширений числовых полей, формируя основу для некоторых стандартных алгоритмов для вычисления абелевых расширений числовых полей. Первые нулевые случаи ранга используются в последних версиях компьютерной алгебраической системы PARI/GP для вычисления полей класса Хильберта из полей с полностью реальными числами, а гипотезы дают одно решение двенадцатой задачи Гильберта, которая бросила вызов математикам, чтобы показать, как полей класса могут быть построены над любым полем числа методами комплексного анализа.
Прогресс
Основная гипотеза Старка была доказана в нескольких особых случаях, например, когда символ, определяющий функцию L, принимает только рациональные значения. За исключением случаев, когда базовым полем является поле рациональных чисел или воображаемое квадратное поле, которые были рассмотрены в работе Старка, абелева гипотеза Старка все еще не доказана для числовых полей. Больше прогресса было достигнуто в области функций алгебраических разновидностей. Сравнение гипотез Старка с некомутативной геометрией Алена Коннеса. Это обеспечивает концептуальную основу для изучения гипотез, хотя в настоящее время неясно, приведут ли методы Манина к фактическому доказательству.
Вариации
В 1980 году Бенедикт Гросс сформулировал гипотезу Гросса-Старка, являющуюся аналогом гипотез Старка, относящих производные функций Делинье-Рибета-Л (для совершенно четных символов полей совершенно реальных чисел) к единицам р. Это было условно доказано Анри Дармоном, Самитом Дашгуптой и Робертом Поллаком в 2011 году. Доказательство было завершено и сделано безусловным Дашгуптой, Махешем Какде и Кевином Вентулло в 2018 году. Дальнейшее уточнение гипотезы о педике было предложено Гросом в 1988 году. В 1984 году Джон Тейт сформулировал гипотезу Брумера-Старка, которая дает уточнение абелевой гипотезы первого ранга Старка при полностью разделенных конечных простых числах (для полностью сложных расширений полностью реальных базовых полей). Аналог поля функций гипотезы Брумера-Старка был доказан Джоном Тэтом и Пьером Делинье в 1984 году. В 2023 году Дашгупта и Какде доказали гипотезу Брумера-Старка вдали от простых 2. В 1996 году Карл Рубин предложил интегральное усовершенствование гипотезы Старка в абелевом случае. В 1999 году Кристиан Думитру Попеску предложил аналог поля функции гипотезы Рубина и доказал это в некоторых случаях.