Кіріспе

Бірлік ұзындығы бар вектор

Математикада, нормаланған векторлық кеңістікте бірлік вектор – ұзындығы 1-ге тең вектор (көбінесе кеңістіктік вектор). Бірлік векторды көбінесе кіші әріппен, үстіне символ қойылып, немесе "hat" (оқылатыны "v hat") сияқты белгілейді. "Бағыт вектор" термині, әдетте d деп белгіленеді, кеңістіктік және салыстырмалы бағытты көрсету үшін қолданылатын бірлік векторын сипаттау үшін пайдаланылады. 2D кеңістіктегі бағыттар сандық түрде бірлік шеңбердегі нүктелерге эквивалентті, ал 3D кеңістіктегі бағыттар бірлік сферадағы нүктеге эквивалентті. Нөлдік емес вектордың нормаланған векторы û – u векторының бағытындағы бірлік вектор, яғни

мұндағы ‖u‖ – u векторының нормасы (немесе ұзындығы). Нормаланған вектор термині кейде бірлік вектордың синонимі ретінде қолданылады. Бірлік векторлар көбінесе векторлық кеңістіктің негізін құру үшін таңдалады, және кеңістіктегі кез келген вектор бірлік векторлардың сызықтық комбинациясы түрінде жазылуы мүмкін.

Картезиандық координаттар

Бірлік векторларды картезиандық координаттар жүйесінің осьтерін көрсету үшін пайдалануға болады. Мысалы, үш өлшемді картезиандық координаттар жүйесінің x, y және z осьтерінің бағытындағы стандартты бірлік векторлары:

Олар бір-біріне ортогональды бірлік векторлар жиынтығын құрайды, және сызықтық алгебрада әдетте стандартты базис деп аталады. Олар көбінесе стандартты бірлік вектор белгілеуінен (мысалы, x̂) гөрі, жалпы вектор белгілеуімен (мысалы, x немесе ) көрсетіледі. Көп жағдайда x, y және z (немесе және ) 3D картезиандық координаттар жүйесінің версорлары деп есептеуге болады. (î, ĵ, k̂), (x̂1, x̂2, x̂3), (êx, êy, êz) немесе (ê1, ê2, ê3) белгілері де қолданылады, шапақшамен немесе шапақшасыз. Бұл цилиндрлік координаттардағыдай анықталған азимут бұрышын өзгеріссіз қалдырады. Картезиандық байланыстар:

Сфералық бірлік векторлар мен екі параметрге де тәуелді, сондықтан нөлдік емес 5 туындысы бар. Толық сипаттама үшін Якоби матрицасы мен анықтауышын қараңыз. Нөлдік емес туындылар:

Бұрыштық координаттар

Жалпы, координаталар жүйесі сызықтық тәуелсіз бірлік векторлардың саны арқылы бірегей түрде анықталуы мүмкін (нақты саны кеңістіктің еркіндік дәрежесіне тең). Кәдімгі 3 өлшемді кеңістік үшін бұл векторларды былай белгілеуге болады. Жүйені ортонормал және оң жақты деп анықтау көбінесе ыңғайлы:

мұндағы – Кронекер дельтасы (i = j болғанда 1, ал басқа жағдайда 0) және – Леви-Чивита символы (ijk ретіндегі орналасу үшін 1, ал kji ретіндегі орналасу үшін -1).

Оң жақ

В. Р. Гамильтон кватерниондарды дамытқан кезде бірлік векторды оң версор деп атады. Шындығында, ол «вектор» терминін енгізген адам, себебі әрбір кватернионның скалярлық бөлігі s және векторлық бөлігі v болады. Егер v – болса, онда кватерниондардағы v-ның квадраты –1-ге тең. Осылайша, Эйлер формуласы бойынша, – 3 сферадағы версор. Егер θ тік бұрыш болса, версор оң версор болады: оның скалярлық бөлігі нөлге тең, ал векторлық бөлігі v – бірлік вектор. Осылайша, оң версондар күрделі жазықтықтағы жорамал бірліктер ұғымын кеңейтеді, мұнда оң версондар енді күрделі жазықтықтағы {i, –i} жұбына қарағанда 2 сферада орналасқан. Сәйкесінше, оң кватернион – оң версордың нақты еселігі.