Вектор единичной длины

Введение

Вектор единичной длины

В математике единичный вектор в нормированном векторном пространстве — это вектор (часто пространственный вектор) длины 1. Единичный вектор часто обозначается строчной буквой с символом «крышка» или «hat», как в (произносится "v hat"). Термин «вектор направления», обычно обозначаемый как d, используется для описания единичного вектора, применяемого для представления пространственного и относительного направления. Двумерные пространственные направления численно эквивалентны точкам на единичной окружности, а пространственные направления в 3D эквивалентны точке на единичной сфере. Нормализованный вектор û ненулевого вектора u является единичным вектором в направлении u, то есть:

где ‖u‖ — норма (или длина) вектора u. Термин «нормализованный вектор» иногда используется как синоним «единичного вектора». Единичные векторы часто выбирают для формирования базиса векторного пространства, и любой вектор в этом пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов.

Декартские координаты

Для представления осей декартовой системы координат могут использоваться единичные векторы. Например, стандартные единичные векторы в направлении осей x, y и z трехмерной декартовой системы координат следующие:

Они образуют набор взаимно ортогональных единичных векторов, обычно называемых стандартным базисом в линейной алгебре. Они часто обозначаются с использованием общепринятой векторной нотации (например, x или ) вместо стандартной единичной векторной нотации (например, x̂). В большинстве случаев можно считать, что x, y и z (или и ) являются версорами трехмерной декартовой системы координат. Также используются обозначения (î, ĵ, k̂), (x̂1, x̂2, x̂3), (êx, êy, êz) или (ê1, ê2, ê3) с или без символа «крышка». Это оставляет азимутальный угол, определенный так же, как и в цилиндрических координатах. Декартовы соотношения:

Сферические единичные векторы зависят как от , так и от , и, следовательно, существует 5 возможных ненулевых производных. Более подробное описание можно найти в статьях о матрице Якоби и определителе. Ненулевые производные:

Криволинейные координаты

В общем, система координат может быть однозначно задана с помощью набора линейно независимых единичных векторов (фактическое число которых равно числу степеней свободы пространства). Для обычного трехмерного пространства эти векторы могут быть обозначены как **i**, **j** и **k**. Практически всегда удобно определять систему как ортонормальную и правостороннюю:

где δ_ij – дельта Кронекера (равная 1 при i = j и 0 в противном случае), а ε_ijk – символ Леви-Чивиты (равный 1 для перестановок, упорядоченных как ijk, и −1 для перестановок, упорядоченных как kji).

Правый версор

Единичный вектор в был назван версором правой стороны У. Р. Гамильтоном при разработке кватернионов. Фактически, он был автором термина «вектор», поскольку каждый кватернион имеет скалярную часть s и векторную часть v. Если v – единичный вектор в , то квадрат v в кватернионах равен –1. Таким образом, согласно формуле Эйлера, является версором на 3-сфере. Когда θ – прямой угол, версор является версором правой стороны: его скалярная часть равна нулю, а векторная часть v – единичный вектор в . Следовательно, версоры правой стороны расширяют понятие мнимых единиц, встречающихся на комплексной плоскости, где версоры правой стороны теперь охватывают 2-сферу, а не пару {i, –i} на комплексной плоскости. По аналогии, правый кватернион является действительным кратным версора правой стороны.