Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Сандар тізбегі
Sequence of numbers
Арифметикалық прогрессия немесе арифметикалық реттілік – кез келген келесі мүшесінен оның алдыңғы мүшесіне дейінгі айырмашылық тізбек бойына тұрақты болатын сандар тізбегі. Осы тұрақты айырмашылық сол арифметикалық прогрессияның ортақ айырмасы деп аталады. Мысалы, 5, 7, 9, 11, 13, 15 тізбегі – ортақ айырмасы 2 болатын арифметикалық прогрессия. Егер арифметикалық прогрессияның бастапқы мүшесі және тізбекті мүшелерінің ортақ айырмасы болса, онда тізбектің -шы мүшесі былай беріледі:
An arithmetic progression or arithmetic sequence is a sequence of numbers such that the difference from any succeeding term to its preceding term remains constant throughout the sequence. The constant difference is called common difference of that arithmetic progression. For instance, the sequence 5, 7, 9, 11, 13, 15, . is an arithmetic progression with a common difference of 2. If the initial term of an arithmetic progression is and the common difference of successive members is , then the th term of the sequence is given by:
Арифметикалық прогрессияның шекті бөлігі – шекті арифметикалық прогрессия деп аталады және кейде жай ғана арифметикалық прогрессия деп аталады. Шекті арифметикалық прогрессияның қосындысы – арифметикалық қатар деп аталады.
A finite portion of an arithmetic progression is called a finite arithmetic progression and sometimes just called an arithmetic progression. The sum of a finite arithmetic progression is called an arithmetic series.
Тарих
Белгісіз сенімділікке негізделген әңгімеге сәйкес, бастауыш мектепте оқыған жас Карл Фридрих Гаус, 1-ден бастап n-ге дейінгі бүтін сандардың қосындысын табу формуласын, n=100 жағдайында, тізбектің екі шетіндегі сандарды 101-ге қосылатын жұптарға топтастырып, осы жұптардың санына көбейту арқылы қайта ашты. Дегенмен, осы оқиғаның растығына қарамастан, Гаус бұл формуланы алғаш рет ашқан жоқ, және кейбіреулер оның тамыры б.з.д. 5 ғасырдағы пифагорлықтарға дейін жетеді деп санайды. Осыған ұқсас қағидалар ежелгі заманда Архимед, Гипсикл және Диофантқа; Қытайда Чжан Цюцзяньге; Үндістанда Арьябхатта, Брахмагупта және Бхаскара II-ге; ортағасырлық Еуропада Алкуин, Дикуил, Фибоначчи, Сакробоскоға және Талмудқа анонимді түсіндірмелер жасаған Тосафисттерге белгілі болған.
According to an anecdote of uncertain reliability, young Carl Friedrich Gauss, who was in primary school, reinvented the formula for summing the integers from 1 through , for the case , by grouping the numbers from both ends of the sequence into pairs summing to 101 and multiplying by the number of pairs. However, regardless of the truth of this story, Gauss was not the first to discover this formula, and some find it likely that its origin goes back to the Pythagoreans in the 5th century BC. Similar rules were known in antiquity to Archimedes, Hypsicles and Diophantus; in China to Zhang Qiujian; in India to Aryabhata, Brahmagupta and Bhaskara II; and in medieval Europe to Alcuin, Dicuil, Fibonacci, Sacrobosco
and to anonymous commentators of Talmud known as Tosafists.
Тоғысулар
Кез келген екі екі есе шексіз арифметикалық прогрессияның қиылысуы бос немесе тағы бір арифметикалық прогрессия болады, оны қытайлық қалдық теоремасы қолдану арқылы табуға болады. Егер екі есе шексіз арифметикалық прогрессиялар жиынындағы әрбір жұп прогрессияның қиылысы бос емес болса, онда олардың бәріне ортақ сан болады; яғни, шексіз арифметикалық прогрессиялар Хелли отбасы құрайды. Дегенмен, шексіз көп шексіз арифметикалық прогрессиялардың қиылысуы өзі шексіз прогрессия бола бермейді, бір ғана санға тең болуы мүмкін.
The intersection of any two doubly infinite arithmetic progressions is either empty or another arithmetic progression, which can be found using the Chinese remainder theorem. If each pair of progressions in a family of doubly infinite arithmetic progressions have a non empty intersection, then there exists a number common to all of them; that is, infinite arithmetic progressions form a Helly family. However, the intersection of infinitely many infinite arithmetic progressions might be a single number rather than itself being an infinite progression.