Арифметическая прогрессия: определение, свойства и история
Arithmetic progression
Арифметическая прогрессия: определение, свойства и формула n-го члена. Узнайте, что такое разность и как рассчитывать члены последовательности. Математика.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Последовательность чисел
Sequence of numbers
Арифметическая прогрессия или арифметическая последовательность — это последовательность чисел, в которой разность между любым последующим и предыдущим членом остаётся постоянной на протяжении всей последовательности. Эта постоянная разность называется разностью арифметической прогрессии. Например, последовательность 5, 7, 9, 11, 13, 15, … является арифметической прогрессией с разностью, равной 2. Если первый член арифметической прогрессии равен , а разность последовательных членов равна , то -й член последовательности вычисляется по формуле:
An arithmetic progression or arithmetic sequence is a sequence of numbers such that the difference from any succeeding term to its preceding term remains constant throughout the sequence. The constant difference is called common difference of that arithmetic progression. For instance, the sequence 5, 7, 9, 11, 13, 15, . is an arithmetic progression with a common difference of 2. If the initial term of an arithmetic progression is and the common difference of successive members is , then the th term of the sequence is given by:
Конечная часть арифметической прогрессии называется конечной арифметической прогрессией и иногда просто арифметической прогрессией. Сумма членов конечной арифметической прогрессии называется арифметической серией.
A finite portion of an arithmetic progression is called a finite arithmetic progression and sometimes just called an arithmetic progression. The sum of a finite arithmetic progression is called an arithmetic series.
История
Согласно анекдотическим сведениям сомнительной достоверности, юный Карл Фридрих Гаусс, будучи в начальной школе, самостоятельно вывел формулу для суммирования целых чисел от 1 до *n*, для случая *n* = 100, сгруппировав числа с обоих концов последовательности в пары, дающие в сумме 101, и умножив результат на количество пар. Однако, вне зависимости от правдивости этой истории, Гаусс не был первым, кто открыл эту формулу, и некоторые полагают, что её истоки уходят к пифагорейцам в V веке до нашей эры. Схожие правила были известны в античности Архимеду, Гипсиклу и Диофанту; в Китае – Чжан Цюцзяню; в Индии – Арьябхате, Брахмагупте и Бхаскаре II; а в средневековой Европе – Алкуину, Дикуилу, Фибоначчи, Сакробоско и анонимным толкователям Талмуда, известным как Тосафисты.
According to an anecdote of uncertain reliability, young Carl Friedrich Gauss, who was in primary school, reinvented the formula for summing the integers from 1 through , for the case , by grouping the numbers from both ends of the sequence into pairs summing to 101 and multiplying by the number of pairs. However, regardless of the truth of this story, Gauss was not the first to discover this formula, and some find it likely that its origin goes back to the Pythagoreans in the 5th century BC. Similar rules were known in antiquity to Archimedes, Hypsicles and Diophantus; in China to Zhang Qiujian; in India to Aryabhata, Brahmagupta and Bhaskara II; and in medieval Europe to Alcuin, Dicuil, Fibonacci, Sacrobosco
and to anonymous commentators of Talmud known as Tosafists.
Пересечения
Пересечение любых двух бесконечно удлиненных арифметических прогрессий либо пусто, либо является другой арифметической прогрессией, которую можно найти с помощью китайской теоремы об остатках. Если каждая пара прогрессий в семействе бесконечно удлиненных арифметических прогрессий имеет непустое пересечение, то существует число, общее для всех них; то есть бесконечно удлиненные арифметические прогрессии образуют семейство Хелли. Однако пересечение бесконечного числа бесконечных арифметических прогрессий может состоять из единственного числа, а не являться бесконечной прогрессией.
The intersection of any two doubly infinite arithmetic progressions is either empty or another arithmetic progression, which can be found using the Chinese remainder theorem. If each pair of progressions in a family of doubly infinite arithmetic progressions have a non empty intersection, then there exists a number common to all of them; that is, infinite arithmetic progressions form a Helly family. However, the intersection of infinitely many infinite arithmetic progressions might be a single number rather than itself being an infinite progression.