Кіріспе
Жинақтар теориясында Кёниг теоремасы былай гласиды: егер таңдау аксиомасы орындалса, I – жиын, және I-дегі әр i үшін және I-дегі әр i үшін – кардинал сандар болса, онда
Мұндағы сома – mi жиындарының ажыратылған біріктірілісінің кардиналдығы, ал көбейтінді – Декарт көбейтілісінің кардиналдығы. Дегенмен, таңдау аксиомасын қолданбаған жағдайда, сома мен көбейтіндіні кардинал сандар ретінде анықтау мүмкін емес, және теңсіздік белгісінің мағынасын нақтылау қажет. Кёниг теоремасы алғаш рет нөлдік емес кардинал сандардың қатаң өсу тізбегінің қосындысы олардың көбейтіндісінен кіші екендігі түрінде ұсынылды.
Кёньг теоремасының түйіндері
Егер κ кардинал болса, онда әр i үшін mi = 1 және ni = 2 деп алсақ, жоғарыдағы теңсіздіктің сол жағы κ-ға тең, ал оң жағы 2κ-ға тең, яғни κ-дан {0, 1} жиынына барушы функциялардың саны, демек κ-ның қуат жиынының кардиналдығы. Осылайша, Кёниг теоремасы Кантор теоремасының басқаша дәлелін ұсынады. (Тарихи тұрғыдан алғанда, әрине, Кантор теоремасы бұрын дәлелденген.)
Таңдау аксиомасы
Таңдау аксиомасын тұжырымдаудың бір жолы – "бос емес жиындардың кез келген Картезиан көбейтіндісі бос емес" дегенді білдіреді. I жиынындағы әрбір i үшін Bi бос емес жиын болсын. I жиынындағы әрбір i үшін Ai = {} болсын. Осылайша, Кёниг теоремасына сәйкес: Егер , онда . Яғни, берілген бос емес жиындардың Bi Картезиан көбейтіндісі, бос жиындардың қосындысынан артық кардиналдыққа ие. Демек, ол бос емес, дәл осыны таңдау аксиомасы тұжырымдайды. Таңдау аксиомасы Кёниг теоремасынан шығатындықтан, теореманың салдары туралы талқылау кезінде біз таңдау аксиомасын еркін және ашық түрде қолданамыз.
If , then That is, the Cartesian product of the given non empty sets Bi has a larger cardinality than the sum of empty sets. Thus it is non empty, which is just what the axiom of choice states. Since the axiom of choice follows from König's theorem, we will use the axiom of choice freely and implicitly when discussing consequences of the theorem.
Кёниг теоремасы және кофиналдылық
Кениг теоремасы кардинал сандардың кофиналдығына да маңызды салдарлары бар. Егер , онда κ-ға жақындайтын, cf(κ) ұзындығындағы қатаң түрде өсетін ординалдар тізбесін таңдаңыз. Олардың әрқайсысы κ-дан кіші, сондықтан олардың қосындысы – κ – cf(κ) көшірмесінің κ-ға көбейтілгенінен кіші болады. Истон теоремасына сәйкес, Кениг теоремасының келесі салдары – реттеулі кардиналдар үшін континуум функциясының жалғыз маңызды шектеуі. Егер және болса, онда . Егер осы қорытындыға қайшы, онда бұрынғы қорытындыны қолданып, , деген қарама-қайшылыққа келіп тірелеміз.
Choose a strictly increasing cf(κ) sequence of ordinals approaching κ. Each of them is less than κ, so their sum, which is κ, is less than the product of cf(κ) copies of κ. According to Easton's theorem, the next consequence of König's theorem is the only nontrivial constraint on the continuum function for regular cardinals. If and , then Let Suppose that, contrary to this corollary, Then using the previous corollary, , a contradiction.
Кёниг теоремасының дәлелі
Зермело-Франкельдің көптемелер теориясын, әсіресе таңдау аксиомасын қабылдай отырып, теореманы дәлелдей аламыз. Есімізде болсын, бізге берілген, ал біз көрсетуіміз керек:
Таңдау аксиомасы A < B шартының A-дан B-ға функцияның болмауымен және B-ның бос еместігімен эквивалентті екенін білдіреді. Сондықтан, бізге Aᵢ-ден Bᵢ ≠ {}-ға функцияның жоқтығы берілген, және біз A-лардың дизъюнкт жиынынан B-лардың көбейтіндісіне кез келген f функциясы сюръективті емес екенін және көбейтіндінің бос емес екенін көрсетуіміз керек. Көбейтіндінің бос емес екендігі таңдау аксиомасынан және факторлардың бос емес екендігінен тікелей шығады. Әр i үшін, f-тың Bᵢ-ге проекциясымен Aᵢ-нің бейнесіне кірмейтін Bᵢ-дегі bᵢ-ні таңдаңыз. Онда bᵢ элементтерінің көбейтіндісі f-тың бейнесінде жоқ, демек f, A-лардың дизъюнкт жиынын B-лардың көбейтіндісіне түсірмейді.