Введение
В теории множеств теорема Кёнига утверждает, что если аксиома выбора верна, I является множеством, и для каждого i из I существуют кардинальные числа , а для каждого i из I существуют кардинальные числа , то
Эта сумма является кардинальностью непересекающегося объединения множеств , а произведение – кардинальностью декартова произведения. Однако, без использования аксиомы выбора, сумму и произведение нельзя определить как кардинальные числа, и значение знака неравенства потребовало бы уточнения. Теорема Кёнига была введена в несколько более слабой формулировке: сумма строго возрастающей последовательности ненулевых кардинальных чисел меньше их произведения.
Следующие положения теоремы Кенига
Если κ – кардинальное число, то если мы возьмем mi = 1 и ni = 2 для каждого i из κ, то левая часть вышеуказанного неравенства будет просто κ, а правая часть – 2κ, кардинальность функций из κ в {0, 1}, то есть кардинальность множества степеней κ. Таким образом, теорема Кёнига дает нам альтернативное доказательство теоремы Кантора. (Исторически, конечно, теорема Кантора была доказана гораздо раньше.)
Аксиомы выбора
Одним из способов формулировки аксиомы выбора является утверждение: "произвольное декартово произведение непустых множеств непусто". Пусть Bi – непустое множество для каждого i из I. Пусть Ai = {} для каждого i из I. Следовательно, по теореме Кёнига, мы имеем: Если , то . Иными словами, декартово произведение данных непустых множеств Bi имеет большую мощность, чем сумма пустых множеств. Таким образом, оно непусто, что и утверждает аксиома выбора. Поскольку аксиома выбора следует из теоремы Кёнига, мы будем свободно и неявно использовать аксиому выбора при обсуждении следствий теоремы.
If , then That is, the Cartesian product of the given non empty sets Bi has a larger cardinality than the sum of empty sets. Thus it is non empty, which is just what the axiom of choice states. Since the axiom of choice follows from König's theorem, we will use the axiom of choice freely and implicitly when discussing consequences of the theorem.
Теорема Кенига и кофинальность
Теорема Кёнига также имеет важные последствия для кофинальности кардинальных чисел. Если , то выберите строго возрастающую последовательность из cf(κ) ординалов, стремящихся к κ. Каждый из них меньше κ, поэтому их сумма, равная κ, меньше произведения cf(κ) копий κ. Согласно теореме Истона, следующее следствие теоремы Кёнига является единственным нетривиальным ограничением на функцию континуума для регулярных кардиналов. Если и , то пусть предположим, что, вопреки этому следствию, тогда, используя предыдущее следствие, , что является противоречием.
Choose a strictly increasing cf(κ) sequence of ordinals approaching κ. Each of them is less than κ, so their sum, which is κ, is less than the product of cf(κ) copies of κ. According to Easton's theorem, the next consequence of König's theorem is the only nontrivial constraint on the continuum function for regular cardinals. If and , then Let Suppose that, contrary to this corollary, Then using the previous corollary, , a contradiction.
Доказательство теоремы Кенига
Предполагая теорию множеств Зермело-Франкеля, включая, в частности, аксиому выбора, мы можем доказать теорему. Напомним, что нам дано , и мы хотим показать:
Аксиома выбора подразумевает, что условие A < B эквивалентно условию отсутствия функции из A на B и непустоты B. Таким образом, нам дано, что не существует функции из Ai на Bi≠{}, и мы должны показать, что любая функция f из непересекающегося объединения As в произведение Bs не является сюръективной и что произведение не пусто. То, что произведение не пусто, непосредственно следует из аксиомы выбора и того факта, что множители не пусты. Для каждого i выберем bi из Bi, не принадлежащий образ Ai при композиции f с проекцией на Bi. Тогда произведение элементов bi не принадлежит образу f, следовательно, f не отображает непересекающееся объединение As на произведение Bs.