Динамикалық жүйелерде тартылыс аймағы

Кіріспе

Динамикалық жүйелердегі ұғым. Динамикалық жүйелердің математикалық саласында тартымдылық – жүйенің бастапқы жағдайларының кең ауқымы үшін, жүйе дамуға бейімделген күйлердің жиынтығы. Тартымдылыққа жеткілікті жақын келген жүйелік мәндер, тіпті сәл бұзылған жағдайда да, жақын қалады. Шектелген өлшемді жүйелерде, дамитын айнымалы алгебралық түрде n өлшемді вектор ретінде бейнеленеді. Тартымдылық – n өлшемді кеңістіктегі аймақ. Физикалық жүйелерде n өлшемдері, мысалы, бір немесе бірнеше физикалық объектілердің әрқайсысы үшін екі немесе үш позициялық координаттар болуы мүмкін; экономикалық жүйелерде олар инфляция деңгейі және жұмыссыздық деңгейі сияқты жеке айнымалылар болуы мүмкін. Егер дамитын айнымалы екі немесе үш өлшемді болса, динамикалық процестің тартымдылығы геометриялық түрде екі немесе үш өлшемде көрсетілуі мүмкін (мысалы, оң жақта көрсетілген үш өлшемді жағдайда). Атрактор – нүкте, нүктелердің шекті жиынтығы, қисық, көптеуіл немесе тіпті фракталдық құрылымы бар күрделі жиынтық болуы мүмкін, ол ерекше тартымдылық деп аталады (төмендегі ерекше тартымдылыққа қараңыз). Егер айнымалы скаляр болса, тартымдылық – нақты сандар сызығының ішкі жиынтығы. Хаотикалық динамикалық жүйелердің тартымдылықтарын сипаттау – хаос теориясының маңызды жетістіктерінің бірі. Атрактордағы динамикалық жүйенің траекториясы уақыт өте келе атракторда қалудан басқа ешқандай арнайы талаптарды орындамайды. Траектория мерзімді немесе хаотикалық болуы мүмкін. Егер нүктелер жиынтығы мерзімді немесе хаотикалық болса, бірақ айналадағы ағын жиынтықтан алшақтаса, онда бұл жиынтық тартымды емес, керісінше, итергіш (немесе итергіштік) деп аталады.

Тартылымдардың мотивациясы

Динамикалық жүйе әдетте бір немесе бірнеше дифференциалдық немесе айырмашылық теңдеулермен сипатталады. Берілген динамикалық жүйенің теңдеулері кез келген қысқа уақыт аралығында оның мінез-құлқын анықтайды. Жүйенің ұзақ уақыт бойығы мінез-құлқын анықтау үшін, көбінесе теңдеулерді талдау арқылы немесе итерация арқылы, жиі компьютерлердің көмегімен интеграциялау қажет. Физикалық әлемдегі динамикалық жүйелер диссипативтік жүйелерден туындайды: егер қозғаушы күш болмаса, қозғалыс тоқтап қалар еді. (Диссипация ішкі үйкеліс, термодинамикалық шығындар немесе материалдың жоғалуы сияқты көптеген себептерден болуы мүмкін.) Диссипация және қозғаушы күш тепе-теңдікке ұмтылып, бастапқы өтеқысқыштарды жойып, жүйені оның қалыпты мінез-құлқына келтіреді. Динамикалық жүйенің қалыпты мінез-құлқына сәйкес келетін фазалық кеңістіктің ішкі жиыны – тартымдылық, ол тартымдылық бөлігі немесе тартымды деп те аталады. Инвариантты жиынтықтар мен лимит жиынтықтары тартымдылық тұжырымдамасына ұқсас. Инвариантты жиын – динамиканың әсерінен өзіне қарай дамитын жиын. Атракторларда инвариантты жиынтықтар болуы мүмкін. Лимит жиын – уақыт шексіздікке ұмтылғанда лимит жиынға (яғни жиынның әрбір нүктесіне) кездейсоқ жақын болатын бастапқы күйдің бар екендігі сияқты нүктелер жиынтығы. Атракторлар – лимит жиынтықтары, бірақ барлық лимит жиынтықтары атракторлар емес: жүйенің кейбір нүктелері лимит жиынтығына жуықтасуы мүмкін, бірақ лимит жиынтығынан сәл ауытққанда басқа нүктелер одан алыстап, лимит жиынтығының маңына ешқашан оралмауы мүмкін. Мысалы, серпімді маятниктің екі инвариантты нүктесі бар: ең төменгі биіктіктегі x0 нүктесі және ең жоғарғы биіктіктегі x1 нүктесі. x0 нүктесі де лимит жиынтығы болып табылады, өйткені траекториялар оған жуықтасады; x1 нүктесі лимит жиынтығы емес. Ауа кедергісінен туындаған диссипацияға байланысты x0 нүктесі де атрактор болып табылады. Егер диссипация болмаса, x0 атрактор бола алмас еді. Аристотель заттарды итерген кезде ғана қозғалатынына сенді, бұл диссипативтік атрактордың алғашқы тұжырымдамасы. Кейбір атракторлардың хаотикалық екені белгілі (құрылымсыз атракторды қараңыз), мұндай жағдайда атрактордың кез келген екі ерекше нүктесінің эволюциясы экспоненциалды түрде алшақтайтын траекторияларға әкеледі, бұл жүйеде тіпті ең кішкентай шу болғанда болжауды қиындатады.

A dynamical system is generally described by one or more differential or difference equations. The equations of a given dynamical system specify its behavior over any given short period of time. To determine the system's behavior for a longer period, it is often necessary to integrate the equations, either through analytical means or through iteration, often with the aid of computers. Dynamical systems in the physical world tend to arise from dissipative systems: if it were not for some driving force, the motion would cease. (Dissipation may come from internal friction, thermodynamic losses, or loss of material, among many causes.) The dissipation and the driving force tend to balance, killing off initial transients and settle the system into its typical behavior. The subset of the phase space of the dynamical system corresponding to the typical behavior is the attractor, also known as the attracting section or attractee. Invariant sets and limit sets are similar to the attractor concept. An invariant set is a set that evolves to itself under the dynamics. Attractors may contain invariant sets. A limit set is a set of points such that there exists some initial state that ends up arbitrarily close to the limit set (i. e. to each point of the set) as time goes to infinity. Attractors are limit sets, but not all limit sets are attractors: It is possible to have some points of a system converge to a limit set, but different points when perturbed slightly off the limit set may get knocked off and never return to the vicinity of the limit set. For example, the damped pendulum has two invariant points: the point x0 of minimum height and the point x1 of maximum height. The point x0 is also a limit set, as trajectories converge to it; the point x1 is not a limit set. Because of the dissipation due to air resistance, the point x0 is also an attractor. If there was no dissipation, x0 would not be an attractor. Aristotle believed that objects moved only as long as they were pushed, which is an early formulation of a dissipative attractor. Some attractors are known to be chaotic (see strange attractor), in which case the evolution of any two distinct points of the attractor result in exponentially diverging trajectories, which complicates prediction when even the smallest noise is present in the system.

Тартқыштар түрлері

Атракторлар – динамикалық жүйенің фазалық кеңістігінің бөліктері немесе кіші жиынтықтары. 1960 жылға дейін атракторлар фазалық кеңістіктің қарапайым геометриялық жиынтықтары ретінде қарастырылды, мысалы, нүктелер, сызықтар, беттер және үш өлшемді кеңістіктің қарапайым аймақтары. Топологиялық тұрғыдан күрделі жиынтықтар сияқты, қарапайым геометриялық кіші жиынтықтар ретінде жіктеуге болмайтын күрделірек атракторлар сол кезде белгілі болған, бірақ олар тұрақсыз аномалиялар деп есептелді. Стивен Смейл өзінің аттың жалағының картасының тұрақты екенін және оның атракторы Кантор жиынтығының құрылымына ие екенін көрсетті. Екі қарапайым атрактор – тұрақты нүкте және лимит цикл. Атракторлар көптеген басқа геометриялық пішіндерді (фазалық кеңістіктің кіші жиынтықтарын) қабылдауы мүмкін. Бірақ егер осы жиынтықтарды (немесе олардың ішіндегі қозғалыстарды) негізгі геометриялық нысандардың (мысалы, сызықтар, беттер, сфералар, тороидтар, манифольдтар) қарапайым комбинациялары (мысалы, қиылысу және бірігу) ретінде оңай сипаттау мүмкін болмаса, онда атрактор ерекше атрактор деп аталады.

Белгілі нүкте

Функцияның немесе трансформацияның тұрақты нүктесі – функция немесе трансформация арқылы өзіне бейнеленген нүкте. Егер динамикалық жүйенің эволюциясын трансформациялар тізбегі ретінде қарастырсақ, онда әр трансформация кезінде өзгермейтін нүкте болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін. Динамикалық жүйенің эволюциясының соңғы күйі сол жүйе үшін эволюция функциясының тартымды тұрақты нүктесіне сәйкес келеді, мысалы, демпферленген маятниктің төменгі орталық орны, стақандағы судың тегіс деңгейі мен сызығы, немесе домалап жүрген шар бар ыдыстың төменгі ортасы. Бірақ динамикалық жүйенің тұрақты нүктесі міндетті түрде жүйенің тартымдылығы емес. Мысалы, егер домалап жүрген шар бар ыдыс кері қайрылса және шар ыдыстың үстінде тепе-теңдікте ұсталса, ыдыстың ортаңғы түбі (қазіргі үстіңгі бөлігі) тұрақты күй болып табылады, бірақ тартымды емес. Бұл тұрақты және тұрақсыз тепе-теңдіктер арасындағы айырмашылыққа тең. Кері қайрылған ыдыстың (төбе) үстіндегі шар жағдайында ыдыстың (төбе) үстіндегі нүкте тұрақты нүкте (тепе-теңдік), бірақ тартымды емес (тұрақсыз тепе-теңдік). Сонымен қатар, кем дегенде бір тұрақты нүктесі бар физикалық динамикалық жүйелерде физикалық әлемдегі динамиканың нақтылығына байланысты бірнеше тұрақты нүктелер мен тартымды орталықтар болады, оның ішінде сызықтық емес динамикасы, үйкеліс, беткейдің тегіс болмауы, деформация (эластикалық және пластикалық) және тіпті кванттық механика. Кері қайрылған ыдыстың үстіндегі шар жағдайында, ыдыс мүлдем жарты шар пішіндес көрінсе де, шардың сфералық пішіні микроскоппен қарағанда әлдеқайда күрделі беттер болып табылады, ал олардың пішіндері жанасқанда өзгереді немесе деформацияланады. Кез келген физикалық беттің бірнеше шыңдары, аңғарлары, тұяқ нүктелері, қырлары, шатқалдары мен жазықтары бар. Бұл беттегі көптеген нүктелер (және осы микроскопиялық жерде домалап жүрген ұқсас дөрекі шардың динамикалық жүйесі) стационарлық немесе тұрақты нүктелер деп саналады, олардың кейбіреулері тартымды орталықтар ретінде жіктеледі.

A fixed point of a function or transformation is a point that is mapped to itself by the function or transformation. If we regard the evolution of a dynamical system as a series of transformations, then there may or may not be a point which remains fixed under each transformation. The final state that a dynamical system evolves towards corresponds to an attracting fixed point of the evolution function for that system, such as the center bottom position of a damped pendulum, the level and flat water line of sloshing water in a glass, or the bottom center of a bowl containing a rolling marble. But the fixed point(s) of a dynamic system is not necessarily an attractor of the system. For example, if the bowl containing a rolling marble was inverted and the marble was balanced on top of the bowl, the center bottom (now top) of the bowl is a fixed state, but not an attractor. This is equivalent to the difference between stable and unstable equilibria. In the case of a marble on top of an inverted bowl (a hill), that point at the top of the bowl (hill) is a fixed point (equilibrium), but not an attractor (unstable equilibrium). In addition, physical dynamic systems with at least one fixed point invariably have multiple fixed points and attractors due to the reality of dynamics in the physical world, including the nonlinear dynamics of stiction, friction, surface roughness, deformation (both elastic and plasticity), and even quantum mechanics. In the case of a marble on top of an inverted bowl, even if the bowl seems perfectly hemispherical, and the marble's spherical shape, are both much more complex surfaces when examined under a microscope, and their shapes change or deform during contact. Any physical surface can be seen to have a rough terrain of multiple peaks, valleys, saddle points, ridges, ravines, and plains. There are many points in this surface terrain (and the dynamic system of a similarly rough marble rolling around on this microscopic terrain) that are considered stationary or fixed points, some of which are categorized as attractors.

Нүктелердің шекті саны

Дискретті уақыт жүйесінде тартымдылық бірінен соң бірі кезегімен таңдалатын шекті сандағы нүктелер түрінде болуы мүмкін. Осы нүктелердің әрқайсысы периодтық нүкте деп аталады. Бұл логистикалық карта арқылы көрсетіледі, ол өзінің нақты параметрлік мәніне байланысты 1 нүктеден, 2 нүктеден, 2n нүктеден, 3 нүктеден, 3×2n нүктеден, 4 нүктеден, 5 нүктеден немесе кез келген оң бүтін санға тең нүктеден тұратын тартымдылыққа ие болуы мүмкін.

Шекті цикл

Шектік цикл – оқшауланған үздіксіз динамикалық жүйенің периодтық орбитасы. Ол циклдік аттрактор болып табылады. Мысалдарға маятник сағатының қозғалысы және демалыс кезіндегі жүрек соғуы жатады. Идеалды маятниктің шекті циклі шекті цикл аттракторының мысалы емес, себебі оның орбиталары оқшауланған емес: идеалды маятниктің фазалық кеңістігінде, кез келген периодтық орбита нүктесінің жанында басқа периодтық орбитаға жататын тағы бір нүкте болады, сондықтан бұл орбита тартымды емес. Ұқсату күші бар физикалық маятник үшін, тоқтау күйі тұрақты нүктелік аттрактор болады. Сағат маятнигінен айырмашылығы, онда циклді сақтау үшін энергияны шығарып алу механизмі арқылы қосымша энергия беріледі.

Шекті тор

Жүйенің шекті цикл күйі арқылы өтетін кезеңдік траекториясында бірнеше жиілік болуы мүмкін. Мысалы, физикада бір жиілік планетаның жұлдыздың айналасында айналу жылдамдығын анықтаса, екінші жиілік екі дене арасындағы қашықтықтағы тербелістерді сипаттайды. Егер осы жиіліктердің екеуі иррационалды қатынаста болса (яғни, өлшенбейтін болса), траектория жабық болмайды және шекті цикл шекті торға айналады. Егер Nt өлшенбейтін жиілік болса, онда мұндай тартымдылық Nt-торус деп аталады. Мысалы, 2-торус мынадай болып көрінеді: Бұл тартымдылыққа сәйкес келетін уақыт қатары квазипериодты қатар болып табылады: Nt периодтық функциялардың (қажетті түрде синус толқындары емес) дискретті үлгіленген қосындысы, олардың жиіліктері өлшенбейді. Мұндай уақыт қатары қатаң периодтылыққа ие емес, бірақ оның қуат спектрі тек өткір сызықтардан ғана тұрады.

Айналадағы таңғажайып тартымдылық

Тартымдылық фракталды құрылымға ие болса, яғни бүтін емес Хаусдорф өлшеміне ие болса, онда ол ерекше тартымдылық деп аталады. Мұндай жағдай көбінесе динамикасы хаотикалық болғанда туындайды, бірақ хаотикалық емес ерекше тартымдылықтар да болады. Егер ерекше тартымдылық хаотикалық болса және бастапқы шарттарға жоғары сезімталдық танытса, онда тартымдылықтағы кез келген екі өте жақын бастапқы нүкте, бірнеше итерациядан кейін, бір-бірінен өте алыс нүктелерге әкеледі (тартымдылық шегінде), ал тағы да бірнеше итерациядан кейін – өте жақын нүктелерге. Осылайша, хаотикалық тартымдылығы бар динамикалық жүйе жергілікті тұрақсыз, бірақ жаһандық тұрақты болып табылады: бір рет тартымдылыққа кіргеннен кейін, жақын нүктелер бір-бірінен алшақтайды, бірақ тартымдылықтан шығып кетпейді. "Ерекше тартымдылық" терминін Дэвид Руэлл мен Флорис Такенс сұйық ағынын сипаттайтын жүйенің бифуркациялар тізбегінен туындаған тартымдылықты сипаттау үшін енгізген. Ерекше тартымдылықтар көбінесе бірнеше бағытта дифференциалданады, бірақ кейбіреулері Кантор тозаңы сияқты, сондықтан дифференциалдана алмайды. Ерекше тартымдылықтар шудың болуымен де кездеседі, онда олар Синай–Руэлл–Боуэн түріндегі инварианттық кездейсоқ ықтималдық шараларын қолдай алады. Ерекше тартымдылықтардың мысалдары: қос орам тартымдылығы, Хенон тартымдылығы, Рёсслер тартымдылығы және Лоренц тартымдылығы.

Тартылымдар жүйенің эволюциясын сипаттайды

Динамикалық теңдеудің параметрлері теңдеу итерацияланғанда өзгереді, ал нақты мәндер бастапқы параметрлерге байланысты болуы мүмкін. Мысал ретінде кеңінен зерттелген логистикалық картаны қарастырайық, оның параметрдің әртүрлі мәндері үшін тартымдылық аймақтары суретте көрсетілген. Егер , барлық бастапқы мәндер функция мәндерін тез теріс шексіздікке жеткізеді; бастапқы мәндер де теріс шексіздікке барады. Бірақ мәні үшін мәндер тез түрленеді, яғни осы мәнде функцияның мінез-құлқы үшін бір ғана мән тартымды болады. Басқа мәндерде бірнеше мән қарастырылуы мүмкін: егер 3,2 болса, бастапқы мәндер функция мәндерін және арасында ауыстырады. Кейбір мәндерде тартымдылық бір нүкте ("тұрақты нүкте") болып табылады, ал басқа мәндерде екі мән кезекпен қарастырылады (периодтың екі еселену бифуркациясы) немесе одан әрі еселену нәтижесінде кез келген сандар; тағы да басқа мәндерде кез келген сандар кезекпен қарастырылады; соңында, кейбір мәндерде шексіз көп нүктелер қарастырылады. Осылайша, бір және сол динамикалық теңдеу бастапқы параметрлеріне байланысты әртүрлі типтегі тартымды элементтерге ие болуы мүмкін.

Тартылатын бассейндер

Атрактордың тартымдылық алабы – фазалық кеңістіктің аймағы, онда итерациялар анықталады, сондай-ақ осы аймақтағы кез келген нүкте (кез келген бастапқы шарт) асимптотикалық түрде атракторға жуықсады. Тұрақты сызықты жүйе үшін фазалық кеңістіктегі барлық нүктелер тартымдылық алабында болады. Дегенмен, сызықты емес жүйелерде кейбір нүктелер тікелей немесе асимптотикалық түрде шексіздікке өтуі мүмкін, ал басқа нүктелер басқа тартымдылық алабында жатып, асимптотикалық түрде басқа атракторға жуықсады; ал кейбір бастапқы шарттар тартымды емес нүктеде немесе циклде болуы немесе тікелей сол нүктеге өтуі мүмкін.

Сызықтық теңдеу немесе жүйе

Біркелкі сызықтық біртекті айырма теңдеуі 0-дан басқа барлық бастапқы нүктелерден шексізге ауытқыйды; тартымдылығы жоқ, сондықтан тартымдылық алабы да жоқ. Бірақ, егер сан сызығының барлық нүктелері асимптотикалық түрде (немесе 0 жағдайында тікелей) 0-ге жақынсаса; 0 – тартымдылық, ал бүкіл сан сызығы – тартымдылық алабы. Сол сияқты, динамикалық вектордағы сызықтық матрицалық айырма теңдеуі, квадраттық матрица түрінде берілген жағдайда, егер матрицаның ең үлкен өзіндік мәнінің абсолюттік шамасы 1-ден үлкен болса, динамикалық вектордың барлық элементтері шексізге ауысады; тартымдылық пен тартымдылық алабы жоқ. Ал егер ең үлкен өзіндік мәні 1-ден кіші болса, барлық бастапқы векторлар асимптотикалық түрде нөлдік векторға жақынсады, ол тартымдылық болып табылады; әлеуетті бастапқы векторлардың бүкіл өлшемдік кеңістігі – тартымдылық алабы. Осындай ерекшеліктер сызықтық дифференциалдық теңдеулерге де қатысты. Скалярлы теңдеу 0-дан басқа барлық бастапқы мәндердің шексізге ауысуына себеп болады, егер , ал 0 мәніндегі тартымдылыққа жақынсаса, бұл бүкіл сан сызығын 0 үшін тартымдылық алабы етеді. Матрицалық жүйе егер матрицаның кез келген өзіндік мәні оң болса, нөлдік вектордан басқа барлық бастапқы нүктелерден ауытқуға (дивергенцияға) әкеледі; бірақ егер барлық өзіндік мәндер теріс болса, нөлдік вектор – тартымдылық, ал оның тартымдылық алабы бүкіл фазалық кеңістік болады.

Сызықтық емес теңдеу немесе жүйе

Сызықтық емес теңдеулер немесе жүйелер сызықтық жүйелерге қарағанда әртүрлі мінез-құлықтарды тудыруы мүмкін. Мысалы, Ньютон әдісі сызықтық емес өрнектің түбірін табу үшін итерациялық қолданылады. Егер өрнекте бірнеше нақты түбір болса, итерациялық алгоритмнің кейбір бастапқы нүктелері асимптотикалық түрде бір түбірге жетеді, ал басқалары – басқа түбірге. Өрнектің түбірлеріне тартылатын аймақтар көбінесе қарапайым болмайды. Яғни, бір түбірге ең жақын нүктелердің бәрі соған бағынады деп айтуға болмайды, бұл жақын нүктелерден тұратын тартылатын аймақ құрайды. Тартылу бассейндері саны шексіз болуы және кез келгендей кішкентай болуы мүмкін. Мысалы, функция үшін келесі бастапқы шарттар тізбектей түрде әртүрлі тартылу бассейндеріне жатады:

2.35287527 саны 4-ке жуытады;
2.35284172 саны −3-ке жуытады;
2.35283735 саны 4-ке жуытады;
2.352836327 саны −3-ке жуытады;
2.352836323 саны 1-ге жуытады. Ньютон әдісі күрделі функциялардың түбірлерін табу үшін де қолданылуы мүмкін. Әр түбір күрделі жазықтықта өзіне тартылатын аймаққа ие, және осы аймақтарды суретте көрсетілгендей картаға түсіруге болады. Көріп отырғанымыздай, нақты бір түбірге тартылатын жиынтық бассейнде көптеген үзіліссіз аймақтар болуы мүмкін. Көптеген күрделі функциялар үшін тартылу бассейндерінің шекаралары фракталдар болып табылады.

Қиссалық дифференциалдық теңдеулер

Параболалық бөлшектік дифференциалдық теңдеулерде шекті өлшемді тартымды элементтер болуы мүмкін. Теңдеудің диффузиялық бөлігі жоғары жиіліктерді басаңдатады және кейбір жағдайларда жаһандық тартымдылыққа алып келеді. Гинцбург-Ландау, Курамото-Сивашинский және екі өлшемді, күштелген Навье-Стокстің теңдеулері шекті өлшемді жаһандық тартымдылықтарға ие екені белгілі. Үш өлшемді, сығылмайтын Навье-Стокстің теңдеуі үшін, егер ол жаһандық тартымдылыққа ие болса, онда бұл тартымдылық шекті өлшемді болады.