Введение

Концепция в динамических системах

В математической области динамических систем, аттрактор — это множество состояний, к которым система стремится эволюционировать при широком диапазоне начальных условий. Значения системы, достаточно близкие к значениям аттрактора, остаются близкими даже при незначительных возмущениях. В системах с конечной размерностью эволюционирующая переменная может быть алгебраически представлена как n-мерный вектор. Аттрактор представляет собой область в n-мерном пространстве. В физических системах n-мерность может быть, например, двумя или тремя координатными величинами положения для каждого из одного или нескольких физических объектов; в экономических системах это могут быть отдельные переменные, такие как уровень инфляции и уровень безработицы. Если эволюционирующая переменная двумерна или трехмерна, аттрактор динамического процесса может быть геометрически представлен в двух или трех измерениях (как, например, в трехмерном случае, изображенном справа). Аттрактор может быть точкой, конечным набором точек, кривой, многообразием или даже сложным множеством с фрактальной структурой, известным как странный аттрактор (см. ниже раздел о странном аттракторе). Если переменная является скаляром, то аттрактор представляет собой подмножество действительной числовой прямой. Описание аттракторов хаотических динамических систем стало одним из достижений теории хаоса. Траектория динамической системы на аттракторе не обязана удовлетворять каким-либо особым ограничениям, кроме как оставаться на аттракторе в процессе эволюции во времени. Траектория может быть периодической или хаотической. Если множество точек периодично или хаотично, но поток в окрестности отстоит от этого множества, то это множество не является аттрактором, а называется отталкивающим (или репеллером).

Мотивация привлекателей

Динамическая система обычно описывается одним или несколькими дифференциальными или разностными уравнениями. Уравнения данной динамической системы определяют ее поведение в течение любого короткого промежутка времени. Для определения поведения системы в течение более длительного периода часто необходимо интегрировать уравнения либо аналитически, либо итерационно, часто с помощью компьютеров. Динамические системы в физическом мире, как правило, возникают из диссипативных систем: если бы не было внешней силы, движение прекратилось бы. (Диссипация может быть вызвана внутренним трением, термодинамическими потерями или потерей вещества, среди прочих причин.) Диссипация и внешняя сила, как правило, уравновешивают друг друга, подавляя начальные переходные процессы и приводя систему к ее типичному поведению. Подмножество фазового пространства динамической системы, соответствующее типичному поведению, называется аттрактором, также известным как притягивающееся сечение или область притяжения. Инвариантные множества и предельные множества схожи с понятием аттрактора. Инвариантное множество – это множество, которое переходит в себя под действием динамики. Аттракторы могут содержать инвариантные множества. Предельное множество – это набор точек, такой, что существует начальное состояние, которое в конечном итоге произвольно близко приближается к предельному множеству (то есть к каждой точке множества) при стремлении времени к бесконечности. Аттракторы являются предельными множествами, но не все предельные множества являются аттракторами: возможно, что некоторые точки системы сходятся к предельному множеству, но другие точки, слегка отклоненные от этого множества, могут быть выброшены и никогда не вернуться в его окрестность. Например, затухающий маятник имеет две инвариантные точки: точку x0 минимальной высоты и точку x1 максимальной высоты. Точка x0 также является предельным множеством, поскольку траектории сходятся к ней; точка x1 не является предельным множеством. Из-за диссипации, вызванной сопротивлением воздуха, точка x0 также является аттрактором. Если бы диссипации не было, x0 не был бы аттрактором. Аристотель считал, что объекты движутся только до тех пор, пока их толкают, что является ранней формулировкой диссипативного аттрактора. Некоторые аттракторы, как известно, хаотичны (см. странный аттрактор), в этом случае эволюция любых двух различных точек аттрактора приводит к экспоненциально расходящимся траекториям, что затрудняет прогнозирование, когда в системе присутствует даже малейший шум.

Типы притяжных устройств

Атракторы – это части или подмножества фазового пространства динамической системы. До 1960-х годов атракторы представлялись как простые геометрические подмножества фазового пространства, такие как точки, линии, поверхности и простые области трехмерного пространства. Более сложные атракторы, которые нельзя отнести к простым геометрическим подмножествам, например, топологически дикие множества, были известны и ранее, но считались неустойчивыми аномалиями. Стивен Смейл показал, что его отображение «подкова» устойчиво, и что его атрактор имеет структуру множества Кантора. Два простых примера атракторов – фиксированная точка и предельный цикл. Атракторы могут принимать множество других геометрических форм (подмножеств фазового пространства). Однако, когда эти множества (или движения внутри них) нельзя легко описать как простые комбинации (например, пересечение и объединение) фундаментальных геометрических объектов (например, линий, поверхностей, сфер, тороидов, многообразий), то такой атрактор называют странным атрактором.

Фиксированная точка

Фиксированная точка функции или преобразования — это точка, которая отображается в саму себя функцией или преобразованием. Если рассматривать эволюцию динамической системы как последовательность преобразований, то может существовать или не существовать точка, остающаяся фиксированной при каждом преобразовании. Конечное состояние, к которому эволюционирует динамическая система, соответствует притягивающей фиксированной точке функции эволюции для этой системы, например, нижняя центральная точка затухающего маятника, горизонтальная и плоская поверхность воды в стакане, или нижний центр чаши, содержащей катящийся шарик. Однако фиксированная точка (или точки) динамической системы не обязательно является аттрактором системы. Например, если перевернуть чашу с катящимся шариком и уравновесить шарик на вершине чаши, то центральное дно (теперь верхняя часть) чаши будет фиксированным состоянием, но не аттрактором. Это эквивалентно различию между устойчивыми и неустойчивыми равновесиями. В случае шарика на вершине перевернутой чаши (холма), точка на вершине чаши (холма) является фиксированной точкой (равновесием), но не аттрактором (неустойчивым равновесием). Кроме того, физические динамические системы, имеющие хотя бы одну фиксированную точку, неизменно обладают множеством фиксированных точек и аттракторов из-за реальной динамики физического мира, включая нелинейную динамику прилипания, трения, шероховатости поверхности, деформации (как упругой, так и пластической) и даже квантовой механики. В случае шарика на вершине перевернутой чаши, даже если чаша кажется идеально полусферической, а форма шарика — сферической, обе эти поверхности гораздо сложнее при рассмотрении под микроскопом, и их формы меняются или деформируются при контакте. Любая физическая поверхность можно рассматривать как пересеченную местность с множеством вершин, долин, седловин, гребней, ущелий и равнин. На этой поверхности (и в динамической системе, аналогичной неровному шарику, катящемуся по этой микроскопической местности) существует множество точек, которые считаются стационарными или фиксированными, некоторые из которых классифицируются как аттракторы.

Определенное количество точек

В дискретной системе времени аттрактор может иметь вид конечного числа точек, посещаемых последовательно. Каждая из этих точек называется периодической точкой. Это демонстрирует логистическое отображение, которое в зависимости от конкретного значения параметра может иметь аттрактор, состоящий из 1 точки, 2 точек, 2n точек, 3 точек, 3×2n точек, 4 точек, 5 точек или любого заданного положительного целого числа точек.

Предельный цикл

Лимитный цикл — это изолированная периодическая орбита непрерывной динамической системы, представляющая собой циклический аттрактор. Примерами служат колебания маятниковых часов и сердцебиение в состоянии покоя. Лимитный цикл идеального маятника не является примером аттрактора с лимитным циклом, поскольку его орбиты не изолированы: в фазовом пространстве идеального маятника, вблизи любой точки периодической орбиты существует другая точка, принадлежащая другой периодической орбите, из-за чего первая орбита не является притягивающей. Для физического маятника, испытывающего трение, состояние покоя будет фиксированным точечным аттрактором. Отличие от маятника часов заключается в том, что в последнем энергия подводится механизмом спуска для поддержания колебаний.

Лимитный тор

В периодической траектории системы, проходящей через состояние предельного цикла, может присутствовать более одной частоты. Например, в физике одна частота может определять скорость обращения планеты вокруг звезды, а другая – колебания расстояния между этими телами. Если две из этих частот образуют иррациональное отношение (то есть являются несоизмеримыми), траектория перестает быть замкнутой, и предельный цикл превращается в предельный тор. Такой аттрактор называется Nt-тором, если существует Nt несоизмеримых частот. Например, вот 2-тор: соответствующий этому аттрактору временной ряд является квазипериодическим рядом – дискретно измеренная сумма Nt периодических функций (не обязательно синусоидальных) с несоизмеримыми частотами. Такой временной ряд не обладает строгой периодичностью, но его спектр мощности состоит исключительно из четких линий.

Странный притягатель

Притягатель называется странным, если он имеет фрактальную структуру, то есть если его размерность Хаусдорфа не является целым числом. Это часто происходит, когда динамика на нём хаотична, но существуют также странные нехаотичные аттракторы. Если странный аттрактор хаотичен и демонстрирует чувствительную зависимость от начальных условий, то любые две произвольно близкие начальные точки на аттракторе, после любого числа итераций, приведут к точкам, которые будут произвольно далеко друг от друга (в пределах границ аттрактора), а после другого числа итераций – к точкам, которые будут произвольно близки друг к другу. Таким образом, динамическая система с хаотическим аттрактором локально нестабильна, но глобально стабильна: однажды попав в аттрактор, близлежащие точки расходятся друг от друга, но не покидают его. Термин «странный аттрактор» был введен Дэвидом Руэллем и Флорисом Такенсом для описания аттрактора, возникающего в результате серии бифуркаций в системе, описывающей течение жидкости. Странные аттракторы часто дифференцируемы в нескольких направлениях, но некоторые из них напоминают пыль Кантора и, следовательно, не дифференцируемы. Странные аттракторы также могут возникать в присутствии шума, где они могут поддерживать инвариантные случайные меры вероятности типа Синая — Руэля — Боуэна. Примеры странных аттракторов включают двойной спиральный аттрактор, аттрактор Генона, аттрактор Рёсслера и аттрактор Лоренца.

Притягатели характеризуют эволюцию системы

Параметры динамического уравнения изменяются в процессе его итераций, а конкретные значения могут зависеть от начальных параметров. Примером служит хорошо изученная логистическая карта, , чьи области притяжения для различных значений параметра показаны на рисунке. Если , все начальные значения приведут к значениям функции, стремящимся к отрицательной бесконечности; начальные значения также будут стремиться к отрицательной бесконечности. Но при значениях быстро сходятся к , то есть при этом значении , единственное значение является аттрактором для поведения функции. При других значениях , может быть достигнуто более одного значения: если 3,2, начальные значения приведут к значениям функции, которые чередуются между и . При некоторых значениях , аттрактором является единственная точка (фиксированная точка), при других значениях два значения посещаются последовательно (бифуркация удвоения периода), или, в результате дальнейшего удвоения, любое число значений ; при еще других значениях , любое заданное число значений посещается последовательно; наконец, для некоторых значений , посещается бесконечное число точек. Таким образом, одно и то же динамическое уравнение может иметь различные типы аттракторов в зависимости от его начальных параметров.

Бассейны притяжения

Бассейн притяжения аттрактора — это область фазового пространства, над которой определены итерации, такая что любая точка (любое начальное условие) в этой области асимптотически будет переходить в аттрактор при итерациях. Для устойчивой линейной системы каждая точка в фазовом пространстве принадлежит бассейну притяжения. Однако в нелинейных системах некоторые точки могут стремиться непосредственно или асимптотически в бесконечность, в то время как другие точки могут находиться в другом бассейне притяжения и асимптотически переходить в другой аттрактор; другие начальные условия могут находиться или непосредственно переходить в точку или цикл, не являющиеся аттракторами.

Линейное уравнение или система

Одновариантное линейное однородное разностное уравнение расходится к бесконечности, если из всех начальных точек, кроме 0. В этом случае нет аттрактора и, следовательно, нет бассейна притяжения. Но если все точки на числовой прямой асимптотически (или непосредственно в случае 0) отображаются в 0, то 0 является аттрактором, а вся числовая прямая – бассейном притяжения. Аналогично, линейное матричное разностное уравнение для динамического вектора , имеющее однородную форму относительно квадратной матрицы , будет приводить к тому, что все элементы динамического вектора будут расходиться к бесконечности, если наибольшее по модулю собственное значение матрицы больше 1. В этом случае нет аттрактора и нет бассейна притяжения. Но если наибольшее по модулю собственное значение меньше 1, все начальные векторы асимптотически сходятся к нулевому вектору, который является аттрактором, а все -мерное пространство потенциальных начальных векторов – является бассейном притяжения. Аналогичные закономерности применимы и к линейным дифференциальным уравнениям. Скалярное уравнение заставляет все начальные значения, кроме нуля, расходиться к бесконечности, если , но сходиться к аттрактору в точке 0, если , делая всю числовую прямую бассейном притяжения для 0. И матричная система приводит к расхождению из всех начальных точек, кроме нулевого вектора, если хотя бы одно собственное значение матрицы положительно; но если все собственные значения отрицательны, то нулевой вектор является аттрактором, а его бассейном притяжения является все фазовое пространство.

Нелинейное уравнение или система

Уравнения или системы, не являющиеся линейными, могут демонстрировать более разнообразное поведение, чем линейные системы. Одним из примеров является метод Ньютона для итерационного поиска корня нелинейного выражения. Если выражение имеет более одного вещественного корня, некоторые начальные точки для итерационного алгоритма асимптотически приближаются к одному из корней, а другие – к другому. Области притяжения корней выражения обычно не являются простыми – не обязательно, что точки, ближайшие к одному корню, сходятся именно к нему, формируя область притяжения, состоящую из соседних точек. Области притяжения могут быть бесконечно многочисленными и сколь угодно малыми. Например, для функции , следующие начальные условия попадают в последовательные области притяжения:

2.35287527 сходится к 4;
2.35284172 сходится к −3;
2.35283735 сходится к 4;
2.352836327 сходится к −3;
2.352836323 сходится к 1. Метод Ньютона также применим к комплексным функциям для нахождения их корней. Каждый корень имеет свою область притяжения на комплексной плоскости; эти области можно отобразить, как показано на изображении. Как видно, объединенная область притяжения для конкретного корня может состоять из множества несвязных областей. Для многих комплексных функций границы областей притяжения являются фракталами.

Частичные дифференциальные уравнения

Параболические уравнения в частных производных могут иметь аттракторы конечной размерности. Диффузионная часть уравнения затухает высокие частоты и в некоторых случаях приводит к глобальному аттрактору. Уравнения Гинзбурга — Ландау, Курамото — Сивашинского и двумерные, вынужденные уравнения Навье — Стокса, как известно, имеют глобальные аттракторы конечной размерности. Для трехмерного несжимаемого уравнения Навье — Стокса с периодическими граничными условиями, если у него существует глобальный аттрактор, то этот аттрактор будет иметь конечную размерность.