Кіріспе

Екі шаманың функционалдық байланысы. Статистикада, қуат заңы – екі шама арасындағы функционалдық байланыс, онда бір шаманың салыстырмалы өзгеруі екінші шаманың салыстырмалы өзгеруіне пропорционалды түрде әкеледі, бұл өзгерудің дәрежесі шамалардың бастапқы өлшемдеріне тәуелсіз: бір шама екінші шаманың дәрежесімен өзгереді. Мысалы, квадраттың қабырғасының ұзындығына қатысты ауданы қарастырылса, егер ұзындығы екі еселенсе, ауданы төрт есе артады. Мұндай байланыстардағы өзгеріс қарқыны көбейтуші деп аталады.

Эмпирикалық мысалдар

Физикалық, биологиялық және адам жасаған түрлі құбылыстардың таралуы кең масштабта қуат заңына шамамен сәйкес келеді: бұл айдың кратерлерінің және күн жарқылдарының мөлшері, түрлі түрлердің іздеу үлгілері, нейрондық популяциялардың белсенділік үлгілерінің мөлшері, көптеген тілдердегі сөздердің жиілігі, фамилиялардың жиілігі, организмдер кладаларындағы түрлердің байлығы, қуат үзілістерінің мөлшері, жанартаулық жарылыстар, стимул интенсивтілігіне қатысты адамдық бағалар және көптеген басқа да шамалар кіреді. Эмпирикалық таралулар қуат заңына тек шектелген мәндер диапазонында ғана сәйкес келеді, себебі таза қуат заңы кез келген үлкен немесе кішкентай мәндерге мүмкіндік береді. Көптеген күрделі орталар үшін кең жиілік диапазондарында акустикалық әлсіреу жиілік қуат заңдарына сәйкес келеді. Биологиялық айнымалылар арасындағы қатынастарға арналған аллометриялық масштабтау заңдары табиғаттағы ең жақсы белгілі қуат заңы функцияларының бірі болып табылады.

Масштабтың өзгермеуі

Қуат заңдарының бір қасиеті – олардың масштабтық өзгермейтін болуы. Егер қатынас берілген болса, аргументті тұрақты фактормен масштабтау функцияның өзін пропорционалды түрде масштабтауға алып келеді. Яғни,

мұнда тікелей пропорционалдылықты білдіреді. Демек, тұрақтыға масштабтау бастапқы қуат заңын сол тұрақтыға көбейтеді. Осыдан белгілі бір масштабтау көрсеткіші бар барлық қуат заңдары тұрақты факторларға дейін эквивалентті екендігі шығады, себебі әрқайсысы екіншісінің масштабталған түрі болып табылады. Осы мінез-құлық логарифмдерді екеуіне де қолданғанда сызықтық қатынас тудырады, ал лог-лог графигіндегі түзу сызық көбінесе қуат заңының белгісі деп аталады. Нақты деректерде мұндай түзулік қуат заңына сәйкес деректер үшін қажетті, бірақ жеткілікті емес шарт болып табылады. Шындығында, осы белгілі мінез-құлықты имитациялайтын, бірақ асимптотикалық лимитте нағыз қуат заңдары емес, шекті деректерді жасаудың көптеген тәсілдері бар. Сондықтан қуат заңдарының модельдерін дұрыс орнату және тексеру – статистикадағы белсенді зерттеу саласы болып табылады; төменде қараңыз.

Жақсы анықталған орташа мәннің болмауы

Қуат заңы тек қана егер орташасы жақсы анықталған болса, орташа мәнге ие болады, ал дисперсиясы шекті тек қана егер болса; табиғатта анықталған қуат заңдарының көпшілігінде көрсеткіштер орташа мән жақсы анықталған, бірақ дисперсиясы жоқ болып келеді, бұл олардың қара құйрық құбылысын көрсетуге қабілетті екенін білдіреді. Достарыңызбен бір бөлмеде отырып, бөлмедегі орташа айлық табысты бағалап көріңіз. Енді әлемдегі ең бай адам бөлмеге кірсе, оның айлық табысы шамамен 1 миллиард АҚШ долларын құрайды делік. Бөлмедегі орташа табысқа не болады? Табыс Парето таралымы деп аталатын қуат заңы бойынша таралады (мысалы, американдықтардың таза байлығы 2 көрсеткіші бар қуат заңы бойынша таралады). Бір жағынан, бұл дисперсия мен стандартты ауытқуға негізделген дәстүрлі статистиканы қолдануды қате етеді (мысалы, регрессиялық талдау). Екінші жағынан, бұл тиімді араласуларға мүмкіндік береді. Дегенмен, медиана бар: қуат заңы x –k, көрсеткіші k > 1 үшін, ол 2¹/(k – 1)xmin мәнін қабылдайды, мұнда xmin – қуат заңының қолданылатын ең төменгі мәні. Олардың ішінде:

Экономика

Аймақтағы немесе қалалық желідегі қалалардың халқының саны, Зипф заңы. Суретшілердің туындыларының орташа бағасы бойынша таралуы. Нарықтық экономикадағы табыстың таралуы. Банктік желілердегі байланыстардың таралуы. Кәсіпорындардың мөлшері бойынша таралу.

Қуат заңын бұзады

Бұзылған қуат заңының бөліктерін біркелкі тігіп, біркелкі бұзылған қуат заңын құрастыруға болады. Қуат заңдарын біріктірудің әртүрлі мүмкіндіктері бар. Мысалы: мұнда функцияны көлденең осьі және тік осьі логарифмдік масштабта көрсетілген график ретінде қарастырғанда, график еңісі бар бірнеше сызықты сегменттерден тұрады, олар бөлініп, біркелкі тігіледі. -нің мәні сегменттердің арасындағы тігісудің өткірлігін анықтайды.

Анықтамалаудың графикалық әдістері

Қалыптасқан және сенімді әдістер ұсынылса да, кездейсоқ үлгілерді пайдалану арқылы қуат заңдары ықтималдық үлестірілімдерін анықтаудың ең көп қолданылатын графикалық әдістері — Парето квантильдік-квантильдік графиктері (немесе Парето QQ графиктері), орташа қалдық өмір графиктері және лог-лог графиктері. Басқа, сенімді графикалық әдіс қалдық квантиль функцияларының жиынтығын қолданады. (Есте сақтаңыз, қуат заңдарының үлестірілімдері Парето типті үлестірілімдер деп те аталады.) Мұнда кездейсоқ үлгі ықтималдық үлестірімінен алынады және біз үлестірілімнің құйрығы қуат заңына сәйкес келе ме екенін білгіміз келеді (яғни, үлестірілімде "Парето құйрығы" бар ма екенін білгіміз келеді). Бұл жерде кездейсоқ іріктеме "деректер" деп аталады. Парето QQ графиктері логарифм түрлендірілген деректердің квантильдерін орташасы 1-ге тең экспоненциалдық үлестірілімнің (немесе стандартты Парето үлестірілімінің) сәйкес квантильдерімен салыстырады, оларды біріне қарсы бірін сызып көрсетеді. Егер алынған шашырау графигі сызылған нүктелердің "асимптотикалық түрде" тура сызыққа жақындасатындығын көрсетсе, қуат заңдарының үлестірілімі болуы мүмкін деген күдік туындайды. Парето QQ графиктерінің шектеуі — олар құйрық индексі (Парето индексі деп те аталады) 0-ге жақын болғанда нашар жұмыс істейді, себебі Парето QQ графиктері баяу өзгеретін құйрықтары бар үлестірілімдерді анықтауға арналмаған. Лог-лог графиктері — кездейсоқ үлгіні пайдалана отырып, үлестірілімнің құйрығын графикалық түрде тексерудің баламалы тәсілі. Дегенмен, сақ болу керек, себебі лог-лог графигі қуат заңына байланысты болуы үшін жеткіліксіз дәлел болып табылады, өйткені көптеген қуат заңына сәйкес келмейтін үлестірілімдер лог-лог графигінде тура сызықтар түрінде көрінеді. Бұл әдіс үлестірілімнің белгілі бір санының логарифмін сол санның пайда болу ықтималдығының бағалаушысының логарифміне қарсы сызудан тұрады. Әдетте, бұл бағалаушы деректер жиынтығында санның кездесу жиілігінің үлесі болып табылады. Егер сызбадағы нүктелер x осіндегі үлкен сандар үшін тура сызыққа "жақындасатын" болса, зерттеуші үлестірілімнің қуат заңдары құйрығына ие екенін қорытындылайды. Бұл типтегі графикті қолданудың мысалдары жарияланған. Бұл графиктің кемшілігі — сенімді нәтижелер алу үшін оларға көп мөлшерде деректер қажет. Сонымен қатар, олар тек дискретті (немесе топтастырылған) деректер үшін ғана қолайлы. Кездейсоқ үлгілерді пайдалану арқылы қуат заңдары ықтималдық үлестірілімдерін анықтау үшін тағы бір графикалық әдіс ұсынылған, ол көптеген белгілі ықтималдық үлестірілімдерінің құйрық мінез-құлқының толық сипаттамасын береді, соның ішінде қуат заңдарының үлестірілімдері, басқа типтегі ауыр құйрықтары бар үлестірілімдер және тіпті ауыр емес құйрықтары бар үлестірілімдер. Жиынтық графиктері жоғарыда аталған Парето QQ графиктерінің, орташа қалдық өмір графиктерінің және лог-лог графиктерінің кемшіліктеріне ие емес (олар ауытқуларға төзімді, кішкентай мәндермен қуат заңдарын визуалды түрде анықтауға мүмкіндік береді және көп деректерді жинауды талап етпейді). Сонымен қатар, жиынтық графиктің көмегімен құйрық мінез-құлқының басқа түрлерін де анықтауға болады.

Қуат заңдарының үлестірілімін сызу

Жалпы, қуат заңдарының үлестірілуі екі есе логарифмдік осьтерде салынады, бұл жоғарғы құйрық аймағын нақты көрсетеді. Мұны істеудің ең қолайлы жолы – (толықтырылған) жиынтық үлестірім (ccdf), яғни, аман қалу функциясы, . CDF де қуат заң функциясы болып табылады, бірақ кішірек масштабтау көрсеткішімен. Деректер үшін CDF-тің эквивалентті түрі – рангтік жиілік тәсілі, онда біз алдымен байқалған мәндерді өсу ретімен сұрыптап, оларды векторға қарсы кестелейміз. Деректерді логарифмдік интервалдарға біріктіру немесе ықтималдық тығыздығы (массасы) функциясын тікелей тегістеу ыңғайлы болғанымен, бұл әдістер деректерді ұсынуда жасырын қателіктерді тудырады, сондықтан олардан аулақ болу керек. Аман қалу функциясы, керісінше, мұндай деректердегі қателіктерге (бірақ олардан толығымен қорғалмай) көбірек төзімді және екі есе логарифмдік осьтердегі сызықтық белгіні сақтайды. Аман қалу функциясының ұсынылымы PDF-ге қарағанда артықшылыққа ие болғанымен, деректерге қуат заңын сызықтық ең кіші квадраттар әдісімен сәйкестендіргенде де математикалық дәлдіктен толығымен құрылмайды. Осылайша, қуат заңдарының үлестірілімінің көрсеткіштерін бағалау кезінде максималды ықтималдық бағалаушысы ұсынылады.

Эмпирикалық деректерден экспонентті бағалау

Қуат заңдарының құйрығы үшін масштабтаушы экспоненттің мәнін бағалаудың көптеген тәсілдері бар, бірақ олардың бәрі де объективті және тұрақты нәтижелер бермейді. Ең сенімді техникалардың көпшілігі ең жоғары ықтималдық әдісіне негізделген. Балама әдістер жиі логарифмдік-логарифмдік ықтималдыққа, логарифмдік-логарифмдік жиынтық үлестіру функциясына немесе логарифмдік топтамаланған деректерге сызықтық регрессия жасауға негізделген, бірақ осы тәсілдерден қашу керек, себебі олардың барлығы масштабтаушы экспоненттің қате бағалануына алып келуі мүмкін.