Кіріспе
Диофантикалық теңдеудің түрі Пелл теңдеуі, сондай-ақ Пелл–Ферма теңдеуі деп аталады, бұл n берілген оң, квадрат емес бүтін сан болғанда, x және y үшін бүтін сандық шешімдер ізделеді. Картезиандық координаттарда теңдеу гипербола түрінде бейнеленеді; шешімдер қисық x және y координаттары екеуі де бүтін сандар болатын нүктеден өтетін жерде пайда болады, мысалы, x = 1 және y = 0 болатын тривиалды шешім. Жозеф Луи Лагранж n толық квадрат емес болған жағдайда, Пелл теңдеуінің шексіз көп ерекше бүтін сандық шешімдері бар екенін дәлелдеді. Бұл шешімдерді n-нің квадрат түбірін x/y түріндегі рационалдық сандармен дәл шамалау үшін қолдануға болады. Бұл теңдеуді алғаш рет Үндістанда Брахмагупта зерттеген, ол шамамен 628 жылы өз еңбегі «Брахмафутсасиддханта»-сында оған бүтін сандық шешім тапқан. XII ғасырдағы Бхаскара II және XIV ғасырдағы Нараяна Пандит екеуі де Пелл теңдеуіне және басқа да квадраттық белгісіз теңдеулерге жалпы шешімдер тапты. Бхаскара II-ге Джаядева мен Брахмагуптаның еңбектеріне негізделген чакравала әдісін әзірлеу жиі жатады. Пелл теңдеуінің нақты мысалдарына, мысалы, n = 2 теңдеуінен туындайтын Пелл сандарына шешімдер, Грекиядағы Пифагор және Үндістандағы осыған ұқсас кезеңнен бастап көп бұрыннан белгілі болды. Уильям Брункер Пелл теңдеуін шешкен бірінші еуропалық ғалым. Пелл теңдеуінің атауы Леонард Эйлердің Брункердің теңдеуді шешуін Джон Пеллге қате жатқызуынан туындады.
Pell's equation, also called the Pell–Fermat equation, is any Diophantine equation of the form where n is a given positive nonsquare integer, and integer solutions are sought for x and y. In Cartesian coordinates, the equation is represented by a hyperbola; solutions occur wherever the curve passes through a point whose x and y coordinates are both integers, such as the trivial solution with x = 1 and y = 0. Joseph Louis Lagrange proved that, as long as n is not a perfect square, Pell's equation has infinitely many distinct integer solutions. These solutions may be used to accurately approximate the square root of n by rational numbers of the form x/y. This equation was first studied extensively in India starting with Brahmagupta, who found an integer solution to in his Brāhmasphuṭasiddhānta circa 628. Bhaskara II in the 12th century and Narayana Pandit in the 14th century both found general solutions to Pell's equation and other quadratic indeterminate equations. Bhaskara II is generally credited with developing the chakravala method, building on the work of Jayadeva and Brahmagupta. Solutions to specific examples of Pell's equation, such as the Pell numbers arising from the equation with n = 2, had been known for much longer, since the time of Pythagoras in Greece and a similar date in India. William Brouncker was the first European to solve Pell's equation. The name of Pell's equation arose from Leonhard Euler mistakenly attributing Brouncker's solution of the equation to John Pell.
Түпкілікті шешімді жалғасқан үтір арқылы табу
Бұл тізбек бірегей. Онда, тұрақты жалғаулы бөлшектің конвергенттерінің тізбегін белгілейік. Пелл теңдеуін шешетін және x-ті ең төмендетуші оң бүтін сандар жұбы x1 = hi және y1 = ki шартын кейбір i үшін қанағаттандырады. Бұл жұп негізгі шешім деп аталады. Тұрақты жалғаулы бөлшектің бүтін сандар тізбегі әрқашан белгілі бір уақыттан кейін қайталана бастайды. Оны [a0; a1, ..., an, a0, a1, ..., an, ...] түрінде жазуға болады, мұнда [a0; a1, ..., an] – қайталанатын бөлік. Сонымен қатар, (a0, a1, ..., an) тобы палиндромды, яғни солдан оңға да, оңнан солға да бірдей оқылады.
Негізгі шешімнің қосымша шешімдері
Фундаменталды шешім табылғаннан кейін, қалған барлық шешімдер Халлгрен алгоритмі арқылы алгебралық түрде есептелуі мүмкін. Бұл алгоритмді нақты квадраттық сандар өрісінің бірліктерінің тобын табу алгоритмі ретінде қарастыруға болады, және Шмидт пен Велльмер оны одан да жалпы өрістерге кеңейтті.
Байланыстар
Пелл теңдеуі математиканың бірнеше маңызды салаларымен байланысты.