Введение

Тип диофантового уравнения

Уравнение Пелла, также называемое уравнением Пелла — Ферма, представляет собой любое диофантово уравнение вида где n — заданное положительное число, не являющееся полным квадратом, и для x и y ищутся целочисленные решения. В декартовых координатах уравнение представляется гиперболой; решения возникают всякий раз, когда кривая проходит через точку, координаты x и y которой являются целыми числами, например, тривиальное решение при x = 1 и y = 0. Жозеф Луи Лагранж доказал, что до тех пор, пока n не является полным квадратом, уравнение Пелла имеет бесконечно много различных целочисленных решений. Эти решения могут быть использованы для точного приближения квадратного корня из n рациональными числами вида x/y. Это уравнение впервые было подробно изучено в Индии, начиная с Брахмагупты, который нашёл целочисленное решение в своей «Брахмасфутасиддханте» около 628 года. Бхаскара II в XII веке и Нараяна Пандит в XIV веке оба нашли общие решения уравнения Пелла и других квадратных неопределённых уравнений. Бхаскара II обычно признаётся разработчиком метода чакравала, основанного на работах Джаядевы и Брахмагупты. Решения конкретных примеров уравнения Пелла, таких как числа Пелла, возникающие из уравнения с n = 2, были известны гораздо раньше, со времён Пифагора в Греции и примерно в то же время в Индии. Уильям Брункер был первым европейцем, решившим уравнение Пелла. Название уравнения Пелла возникло из-за того, что Леонард Эйлер ошибочно приписал решение уравнения, найденное Брункер, Джону Пеллу.

Фундаментальное решение с помощью непрерывных дробей

Пусть обозначает последовательность сходящихся к регулярной непрерывной дроби для числа . Эта последовательность уникальна. Тогда пара положительных целых чисел, являющихся решением уравнения Пелля и минимизирующих x, удовлетворяет условиям x₁ = hᵢ и y₁ = kᵢ для некоторого i. Эта пара называется фундаментальным решением. Последовательность целых чисел в регулярной непрерывной дроби всегда в конечном итоге становится периодической. Её можно записать в виде , где является периодической частью, повторяющейся бесконечно. Более того, кортеж является палиндромом. Он читается одинаково слева направо и справа налево.

Дополнительные решения из основного решения

После нахождения фундаментального решения все остальные решения могут быть вычислены алгебраически с помощью алгоритма Холгрена, который можно интерпретировать как алгоритм для нахождения группы единиц действительного квадратичного числового поля, и который был расширен Шмидтом и Велльмером на более общие поля.

Связи

Уравнение Пелля связано с несколькими другими важными областями математики.