Категория теориясындағы тікелей лимиттердің ерекше жағдайлары
Direct limit
Категориялық теориядағы тікелей лимит – кіші объектілерден үлкен объектіні құру тәсілі. Гомоморфизмдер жүйесімен байланысты, коломиттердің ерекше жағдайы.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Категориялар теориясындағы колимиттің арнайы жағдайы
Special case of colimit in category theory
Математикада, тікелей шек – бұл белгілі бір тәсілмен біріктірілген көптеген (әдетте кіші) объектілерден (әдетте үлкен) объекті құрудың бір жолы. Бұл объектілер топтар, сақиналар, векторлық кеңістіктер немесе жалпы алғанда кез келген категориядағы объектілер болуы мүмкін. Олардың біріктірілу тәсілі сол кіші объектілер арасындағы гомоморфизмдер жүйесімен (топ гомоморфизмі, сақина гомоморфизмі немесе жалпы категориядағы морфизмдер) анықталады. Егер бір бағытталған жиын бойынша өзгешеленетін болса, онда объектілердің тікелей шегі деп белгіленеді. Бұл белгілеу гомоморфизмдер жүйесін жасырады; алайда, шек гомоморфизмдер жүйесіне тәуелді. Тікелей шектер – категориялар теориясындағы колимит түсінігінің ерекше жағдайы. Тікелей шектер кері шектерге дуалды болып табылады, ал кері шектер – категориялар теориясындағы шектердің ерекше жағдайы.
In mathematics, a direct limit is a way to construct a (typically large) object from many (typically smaller) objects that are put together in a specific way. These objects may be groups, rings, vector spaces or in general objects from any category. The way they are put together is specified by a system of homomorphisms (group homomorphism, ring homomorphism, or in general morphisms in the category) between those smaller objects. The direct limit of the objects , where ranges over some directed set , is denoted by This notation suppresses the system of homomorphisms; however, the limit depends on the system of homomorphisms. Direct limits are a special case of the concept of colimit in category theory. Direct limits are dual to inverse limits, which are a special case of limits in category theory.
Ресми анықтама
Алдымен топтар мен модульдер сияқты алгебралық құрылымдардың анықтамасын береміз, содан кейін кез келген санатта қолданылатын жалпы анықтаманы ұсынамыз.
We will first give the definition for algebraic structures like groups and modules, and then the general definition, which can be used in any category.
Мысалдар
Жинақтың кіші жиындарының жиынтығы қосу арқылы ішінара реттелуі мүмкін. Егер жиынтық бағытталған болса, оның тікелей шегі – одақ. Бұл, берілген топтың кіші топтарының бағытталған жиынтығы немесе берілген сақинаның кіші сақиналарының бағытталған жиынтығы үшін де дұрыс. CW кешенінің әлсіз топологиясы тікелей шек ретінде анықталады. Кез келген бағытталған жиынның тікелей шегі, ең үлкен элементі бар болса, изоморфты және каноникалық морфизм – изоморфизм. K өріс болсын. Оң бүтін сан n үшін, K-дан алынған инвертирленетін n x n матрицалардан тұратын жалпы сызықтық топты GL(n;K) қарастырайық. Бізде топтық гомоморфизм GL(n;K) → GL(n+1;K) бар, ол матрицаларды оң төменгі бұрышына 1 қойып, соңғы қатар мен бағанда нөлдерді орналастыру арқылы кеңейтеді. Бұл жүйенің тікелей шегі – K-нің жалпы сызықтық тобы, GL(K) деп жазылады. GL(K) тобының элементін, тек шекті сандағы жазбаларында ғана шексіз сәйкес матрицадан өзгеше болатын шексіз инвертирленетін матрица ретінде қарастыруға болады. GL(K) тобы алгебралық K-теориясында маңызды рөл атқарады. p – жай сан болсын. Факторлық топтардан және көбейту арқылы туындаған гомоморфизмдерден тұратын тікелей жүйені қарастырайық. Бұл жүйенің тікелей шегі – бірлік түбірінің барлық жиыны, олардың реті p-нің белгілі бір дәрежесіне тең, және ол Пруфер тобы деп аталады. Бұл тікелей жүйенің тікелей шегін құру симметриялық функциялар сақинасын береді. F – топологиялық X кеңістігіндегі C-мәнді шоғыр болсын. X кеңістігінде x нүктесін бекітейік. x-тің ашық маңдары қосу арқылы реттелген бағытталған жиынды құрайды (U ≤ V егер және тек қана U, V-ны қамтыса). Сәйкес тікелей жүйе (F(U), rU,V) болып табылады, мұнда r – шектеулік функция. Бұл жүйенің тікелей шегі F-тің x-тегі сабағы деп аталады және Fx деп белгіленеді. Әрбір x-тің маңы U үшін, каноникалық морфизм F(U) → Fx, F-тің U үстіндегі s қимасын x-тегі сабақтың sx элементімен байланыстырады. Топологиялық кеңістіктер санатындағы тікелей шектер, негізгі теориялық тікелей шекке соңғы топологияны қою арқылы беріледі. Индуктивтік схема – схемалардың индуктивтік шегі.
A collection of subsets of a set can be partially ordered by inclusion. If the collection is directed, its direct limit is the union The same is true for a directed collection of subgroups of a given group, or a directed collection of subrings of a given ring, etc. The weak topology of a CW complex is defined as a direct limit. Let be any directed set with a greatest element The direct limit of any corresponding direct system is isomorphic to and the canonical morphism is an isomorphism. Let K be a field. For a positive integer n, consider the general linear group GL(n;K) consisting of invertible n x n matrices with entries from K. We have a group homomorphism GL(n;K) → GL(n+1;K) that enlarges matrices by putting a 1 in the lower right corner and zeros elsewhere in the last row and column. The direct limit of this system is the general linear group of K, written as GL(K). An element of GL(K) can be thought of as an infinite invertible matrix that differs from the infinite identity matrix in only finitely many entries. The group GL(K) is of vital importance in algebraic K theory. Let p be a prime number. Consider the direct system composed of the factor groups and the homomorphisms induced by multiplication by The direct limit of this system consists of all the roots of unity of order some power of , and is called the Prüfer group There is a (non obvious) injective ring homomorphism from the ring of symmetric polynomials in variables to the ring of symmetric polynomials in variables. Forming the direct limit of this direct system yields the ring of symmetric functions. Let F be a C valued sheaf on a topological space X. Fix a point x in X. The open neighborhoods of x form a directed set ordered by inclusion (U ≤ V if and only if U contains V). The corresponding direct system is (F(U), rU,V) where r is the restriction map. The direct limit of this system is called the stalk of F at x, denoted Fx. For each neighborhood U of x, the canonical morphism F(U) → Fx associates to a section s of F over U an element sx of the stalk Fx called the germ of s at x. Direct limits in the category of topological spaces are given by placing the final topology on the underlying set theoretic direct limit. An ind scheme is an inductive limit of schemes.
Байланысты құрылымдар мен жалпылаулар
Бір категориядағы тікелей жүйелерді функторлар арқылы сипаттауға болады. Кез келген бағытталған жиынтықты кіші категория ретінде қарастыруға болады, онда нысандары жиын элементтері, ал морфизмдер болса, егер және тек егер А тікелей жүйесі болса, онда ол ковариантты функтормен тең. Осы функтордың колимиті бастапқы тікелей жүйенің тікелей шегімен сәйкес келеді. Тікелей шектерге жақын ұғым – сүзгіленген колимиттер. Мұнда біз сүзгіленген категориядан қандай да бір категорияға ковариантты функторды алып, осы функтордың колимитін құраймыз. Бір категорияның барлық бағытталған шектері бар екені, егер және тек қана егерде оның барлық сүзгіленген колимиттері болса, ал мұндай категорияда анықталған функтор барлық сүзгіленген колимиттермен қатар, барлық тікелей шектермен де үйлеседі. Кез келген санатты қарастырғанда, онда тікелей шегі жоқ тікелей жүйелер болуы мүмкін (мысалы, шекті жиындар санаты немесе шекті жасалған абелдік топтар санатын қарастырыңыз). Мұндай жағдайда, оны әрқашан барлық тікелей шектері бар категорияға ендіруге болады; осы категорияның нысандары ind-нысандар деп аталады.
We note that a direct system in a category admits an alternative description in terms of functors. Any directed set can be considered as a small category whose objects are the elements and there is a morphisms if and only if A direct system over is then the same as a covariant functor The colimit of this functor is the same as the direct limit of the original direct system. A notion closely related to direct limits are the filtered colimits. Here we start with a covariant functor from a filtered category to some category and form the colimit of this functor. One can show that a category has all directed limits if and only if it has all filtered colimits, and a functor defined on such a category commutes with all direct limits if and only if it commutes with all filtered colimits. Given an arbitrary category , there may be direct systems in that don't have a direct limit in (consider for example the category of finite sets, or the category of finitely generated abelian groups). In this case, we can always embed into a category in which all direct limits exist; the objects of are called ind objects of
Тікелей шектің категориялық дуалы кері шек деп аталады. Жоғарыда айтылғандай, кері шектерді белгілі бір функторлардың шектері ретінде қарастыруға болады және олар кофильтрленген категориялардағы шектермен тығыз байланысты.
The categorical dual of the direct limit is called the inverse limit. As above, inverse limits can be viewed as limits of certain functors and are closely related to limits over cofiltered categories.
Терминология
Әдебиетте жоғарыда анықталған тікелей шек ұғымы үшін "бағытталған шек", "тікелей индукциялық шек", "бағытталған колимит", "тікелей колимит" және "индукциялық шек" терминдері кездеседі. Дегенмен, "индукциялық шек" термині екіұшты, себебі кейбір авторлар оны колимит ұғымының жалпы түрі ретінде пайдаланады.
In the literature, one finds the terms "directed limit", "direct inductive limit", "directed colimit", "direct colimit" and "inductive limit" for the concept of direct limit defined above. The term "inductive limit" is ambiguous however, as some authors use it for the general concept of colimit.