Прямые пределы в теории категорий

Введение

Специальный случай колимита в теории категорий

В математике прямой предел — это способ построения (обычно большого) объекта из множества (обычно меньших) объектов, соединенных определенным образом. Эти объекты могут быть группами, кольцами, векторными пространствами или, в общем случае, объектами из любой категории. Способ их соединения задается системой гомоморфизмов (гомоморфизмов групп, гомоморфизмов колец или, в общем случае, морфизмов в категории) между этими меньшими объектами. Прямой предел объектов , где проходит по некоторому направленному множеству , обозначается как . Эта запись не отражает систему гомоморфизмов; однако предел зависит от этой системы. Прямые пределы являются частным случаем понятия колимита в теории категорий. Прямые пределы двойственны обратным пределам, которые являются частным случаем пределов в теории категорий.

Формальное определение

Сначала мы дадим определения алгебраических структур, таких как группы и модули, а затем — общее определение, применимое в любой категории.

Примеры

Коллекция подмножеств множества может быть частично упорядочена включением. Если коллекция направлена, её прямым пределом является объединение. То же самое верно для направленной коллекции подгрупп данной группы или направленной коллекции подколец данного кольца и т. д. Слабая топология CW-комплекса определяется как прямой предел. Пусть — любое направленное множество с наибольшим элементом. Прямой предел любой соответствующей прямой системы изоморфен , и канонический морфизм является изоморфизмом. Пусть K — поле. Для положительного целого числа n рассмотрим общую линейную группу GL(n, K), состоящую из обратимых матриц n x n с элементами из K. У нас есть групповой гомоморфизм GL(n, K) → GL(n+1, K), который расширяет матрицы, помещая 1 в правом нижнем углу и нули в остальных ячейках последней строки и столбца. Прямой предел этой системы является общей линейной группой поля K, обозначаемой GL(K). Элемент GL(K) можно рассматривать как бесконечную обратимую матрицу, отличающуюся от бесконечной единичной матрицы лишь конечным числом элементов. Группа GL(K) играет важную роль в алгебраической K-теории. Пусть p — простое число. Рассмотрим прямую систему, состоящую из факторгрупп и гомоморфизмов, индуцированных умножением на . Прямой предел этой системы состоит из всех корней из единицы порядка, являющегося некоторой степенью p, и называется группой Прюфера. Существует (неочевидный) инъективный гомоморфизм колец из кольца симметричных многочленов от переменных в кольцо симметричных многочленов от переменных. Формирование прямого предела этой прямой системы даёт кольцо симметричных функций. Пусть F — C-значный пучок на топологическом пространстве X. Зафиксируем точку x в X. Открытые окрестности x образуют направленное множество, упорядоченное включением (U ≤ V, если и только если U содержит V). Соответствующая прямая система — (F(U), rU,V), где r — отображение ограничения. Прямой предел этой системы называется слоем (стеблем) пучка F в точке x и обозначается Fx. Для каждой окрестности U точки x канонический морфизм F(U) → Fx сопоставляет сечению s пучка F над U элемент sx слоя Fx, называемый зародышем s в точке x. Прямые пределы в категории топологических пространств задаются наделением базового теоретико-множественного прямого предела конечной топологией. Индуктивная схема — это индуктивный предел схем.

A collection of subsets of a set can be partially ordered by inclusion. If the collection is directed, its direct limit is the union The same is true for a directed collection of subgroups of a given group, or a directed collection of subrings of a given ring, etc. The weak topology of a CW complex is defined as a direct limit. Let be any directed set with a greatest element The direct limit of any corresponding direct system is isomorphic to and the canonical morphism is an isomorphism. Let K be a field. For a positive integer n, consider the general linear group GL(n;K) consisting of invertible n x n matrices with entries from K. We have a group homomorphism GL(n;K) → GL(n+1;K) that enlarges matrices by putting a 1 in the lower right corner and zeros elsewhere in the last row and column. The direct limit of this system is the general linear group of K, written as GL(K). An element of GL(K) can be thought of as an infinite invertible matrix that differs from the infinite identity matrix in only finitely many entries. The group GL(K) is of vital importance in algebraic K theory. Let p be a prime number. Consider the direct system composed of the factor groups and the homomorphisms induced by multiplication by The direct limit of this system consists of all the roots of unity of order some power of , and is called the Prüfer group There is a (non obvious) injective ring homomorphism from the ring of symmetric polynomials in variables to the ring of symmetric polynomials in variables. Forming the direct limit of this direct system yields the ring of symmetric functions. Let F be a C valued sheaf on a topological space X. Fix a point x in X. The open neighborhoods of x form a directed set ordered by inclusion (U ≤ V if and only if U contains V). The corresponding direct system is (F(U), rU,V) where r is the restriction map. The direct limit of this system is called the stalk of F at x, denoted Fx. For each neighborhood U of x, the canonical morphism F(U) → Fx associates to a section s of F over U an element sx of the stalk Fx called the germ of s at x. Direct limits in the category of topological spaces are given by placing the final topology on the underlying set theoretic direct limit. An ind scheme is an inductive limit of schemes.

Связанные конструкции и обобщения

Мы отмечаем, что прямая система в категории допускает альтернативное описание в терминах функторов. Любое направленное множество можно рассматривать как малую категорию, объектами которой являются элементы, и морфизмы существуют тогда и только тогда, когда. Прямая система над тогда является тем же самым, что и ковариантный функтор. Колимит этого функтора совпадает с прямым пределом исходной прямой системы. Понятие, тесно связанное с прямыми пределами, – это фильтрованные колимиты. Здесь мы начинаем с ковариантного функтора из фильтрованной категории в некоторую категорию и формируем колимит этого функтора. Можно показать, что категория обладает всеми направленными пределами тогда и только тогда, когда она обладает всеми фильтрованными колимитами, и функтор, определенный на такой категории, коммутирует со всеми прямыми пределами тогда и только тогда, когда он коммутирует со всеми фильтрованными колимитами. Для произвольной категории могут существовать прямые системы, не имеющие прямого предела в (например, категория конечных множеств или категория конечно порожденных абелевых групп). В этом случае мы всегда можем вложить в категорию, в которой все прямые пределы существуют; объекты называются инд-объектами .

Категорический дуал прямого предела называется обратным пределом. Как и выше, обратные пределы можно рассматривать как пределы определенных функторов и тесно связаны с пределами по софильтрованным категориям.

Терминология

В литературе встречаются термины «направленный предел», «прямой индуктивный предел», «направленный колимит», «прямой колимит» и «индуктивный предел» для понятия прямого предела, определенного выше. Однако термин «индуктивный предел» является неоднозначным, так как некоторые авторы используют его для обозначения общего понятия колимита.