Үздіксіз функциялардың гомотопиясы

Кіріспе

Топологияда, математиканың бір саласында, егер бір үздіксіз функцияны екіншісіне "үздіксіз түрлендіруге" болса, екі топологиялық кеңістіктен бір-біріне берілген екі үздіксіз функция гомотопия деп аталады (ὁμός "бірдей, ұқсас" және τόπος "орналасқан жер" сөздерінен). Мұндай түрлендіру екі функция арасындағы гомотопия деп аталады (/h//ə/'/m//ɒ//t//ə//p//iː/, həMOtəpee; '/h//oʊ//m//oʊ/,/t//oʊ//p//iː/, HOHmohtohpee). Гомотопияның маңызды қолданылуы – алгебралық топологиядағы маңызды инварианттар болып табылатын гомотопиялық және кохомотопиялық топтарды анықтау. Іс жүзінде, кейбір кеңістіктерде гомотопияларды қолдануда техникалық қиындықтар туындайды. Алгебралық топологтар ықшам түрде жасалған кеңістіктермен, CW кешендерімен немесе спектрлермен жұмыс істейді.

Қасиеттері

Үздіксіз f және g функциялары гомотопиялық деп аталады, егер және тек егер жоғарыда сипатталғандай, f-ден g-ге дейінгі H гомотопиясы болса. Гомотопиялық болу – X-тен Y-ге дейінгі барлық үздіксіз функциялар жиынында эквиваленттілік қатынас. Бұл гомотопиялық қатынас функция композициясымен келесі мағынада үйлесімді: егер f1, g1 : X → Y гомотопиялық болса, және f2, g2 : Y → Z гомотопиялық болса, онда олардың композициялары f2 ∘ f1 және g2 ∘ g1 : X → Z де гомотопиялық.

Гомотопиялық баламалық

Екі топологиялық кеңістік X және Y берілгенде, X және Y арасындағы гомотопиялық теңдестік – бұл 1=f: X → Y және 1=g: Y → X үздіксіз бейнелеулер жұбы, мұндайда 1=g ∘ f бейнелеуі idX сәйкестік бейнелеуіне гомотопиялық, ал 1=f ∘ g бейнелеуі idY сәйкестік бейнелеуіне гомотопиялық болады. Мұндай жұп болған жағдайда, X және Y гомотопиялық теңдес немесе бір гомотопиялық типте деп айтылады. Түсініксіз айтқанда, егер екі кеңістік X және Y бүгілу, қысқару және кеңейту операциялары арқылы бір-біріне айналдырыла алса, онда олар гомотопиялық теңдес болып табылады. Нүктеге гомотопиялық теңдес кеңістіктер жиырылатын деп аталады.

Гомотопиялық баламалық пен гомеоморфизм

Гомеоморфизм – гомотопиялық теңдестіктің ерекше жағдайы, онда 1=g ∘ f сәйкестік функциясы idX-қа тең (тек оған гомотопиялық емес), ал 1=f ∘ g idY-ға тең. Сондықтан, егер X және Y гомеоморфты болса, онда олар гомотопиялық эквивалентті, бірақ керісінше дұрыс емес. Мысалдар:

Қатты диск – бір нүктеге гомотопиялық тең, себебі дискіні радиалдық түзулер бойымен үздіксіз түрлендіру арқылы бір нүктеге келтіруге болады. Дегенмен, олар гомеоморфты емес, өйткені олардың арасында биекция жоқ (біреуі шексіз жиын, ал екіншісі – шекті). Мёбиус жолағы мен бұралмаған (жабық) жолақ гомотопиялық эквивалентті, себебі екі жолақты да шеңберге үздіксіз түрлендіруге болады. Бірақ олар гомеоморфты емес.

Мысалдар

Гомотопиялық эквиваленттің бірінші мысалы – нүктемен, оны арнайы белгілейді. Тексеру қажет бөлігі – гомотопияның және , бастапқы нүктеге проекцияның арасында болуы. Бұл былай сипатталады. (бірлік шеңбер) және жалпы алғанда, гомотопиялық эквивалентті. Кез келген талшықтық бундель, талшықтары нүктеге гомотопиялық тең болса, оның жалпы және негізгі кеңістіктері де гомотопиялық эквивалентті болады. Бұл алдыңғы екі мысалды жалпылайды, себебі – талшықтық бундель, талшығы нүктеге тең. Кез келген векторлық бундель – талшықтық бундель, талшығы нүктеге гомотопиялық тең. Кез келген үшін, оны талшықтық бундельдің жалпы кеңістігі ретінде жазып, содан кейін жоғарыдағы гомотопиялық эквиваленттіліктерді қолдану арқылы. Егер CW кешенінің субкомплексі жиырылатын болса, онда бөлу кеңістігі гомотопиялық эквивалентті болады. Деформациялық қайтару – гомотопиялық эквиваленттілік.

Нөлдік гомотопия

Функция тұрақты функцияға гомотопты болса, онда ол нөлдік гомотопиялық деп аталады. (Тұрақты функцияға дейінгі гомотопия кейде нөлдік гомотопия деп аталады.) Мысалы, бірлік шеңберден кез келген кеңістікке бейнелеу, егер оны бірлік дискіден кеңістікке үздіріссіз кеңейтуге болып, шекарадағы мәнімен сәйкес келсе, нөлдік гомотоп болады. Осы анықтамалардан, кеңістік өзіне-өзінің сәйкестік бейнелеуі – әрқашан гомотопиялық теңдестік – нөлдік гомотопиялық болса және тек сонда ғана қысылғыш болады деген қорытынды шығады.

Өзгермеушілік

Гомотопиялық теңдестік маңызды, себебі алгебралық топологияда көптеген түсініктер гомотопиялық инварианттар болып табылады, яғни олар гомотопиялық теңдестік қатынасын сақтайды. Мысалы, егер X және Y гомотопиялық эквивалентті кеңістіктер болса, онда: X жолға жалғастырылған болса, тек Y да жолға жалғастырылған болады. X қарапайым байланысты болса, тек Y да қарапайым байланысты болады. X және Y кеңістіктерінің (сингулярлық) гомология және когомология топтары изоморфты. Егер X және Y жолға байланысты болса, онда X және Y кеңістіктерінің негізгі топтары изоморфты, сондай-ақ жоғары гомотопиялық топтары да изоморфты. (Жолға байланыстылық туралы болжам болмаса, π1(X, x0) тобы π1(Y, f(x0)) тобына изоморфты болады, мұнда f : X → Y гомотопиялық теңдестік және x0 ∈ X.) Топологиялық кеңістіктердің гомотопиялық инвариант емес алгебралық инвариантының мысалы – ықшам қолдаулы гомология (бұл, шамамен айтқанда, ықшамдаудың гомологиясы, ал ықшамдау гомотопиялық инвариант емес).

Салыстырмалы гомотопия

Фундаменталды топты анықтау үшін, субкеңістікке қатысты гомотопия ұғымы қажет. Бұл – субкеңістіктің элементтерін өзгеріссіз ұстайтын гомотопиялар. Формальды түрде: егер f және g – X-тен Y-ге үздіксіз бейнелеулер болса және K – X-тің ішкі жиыны болса, онда f және g гомотопиялық, K-ға қатысты дейміз, егер f және g арасында H: X × [0, 1] → Y гомотопиясы болса, мұнда барлық k ∈ K және t ∈ [0, 1] үшін H(k, t) = f(k) = g(k) орындалады. Сондай-ақ, егер g – X-тен K-ға сығылу болса және f – сәйкестік бейнелеуі болса, онда бұл X-тің K-ға күшті деформациялық сығылуы деп аталады. K нүкте болған жағдайда, нүктелік гомотопия термині қолданылады.

Изотоп

Егер екі берілген үздіксіз функциялар f және g топологиялық X кеңістігінен топологиялық Y кеңістігіне енгізілген болса, оларды «енгізу арқылы» байланыстыруға бола ма деп сұрауға болады. Бұл изотопия тұжырымын тудырады, ол бұрын қолданылған белгіде гомотопия H болып табылады, мұнда әрбір белгілі t үшін H(x, t) енгізуді береді. Қатысты, бірақ әртүрлі ұғым – қоршаған ортаның изотопиясы. Екі енгізудің изотоптық болуын талап ету, олардың гомотоптық болуынан күшті талап. Мысалы, [−1, 1] аралығынан f(x) = −x арқылы анықталатын нақты сандарға жасалған карта g(x) = x сәйкестігіне изотоптық емес. f-тен сәйкестікке дейінгі кез келген гомотопия соңғы нүктелерді алмастыруы керек, яғни олар бір-бірі арқылы «өтуі» керек. Сонымен қатар, f интервалдың бағытын өзгертті, ал g өзгермеді, бұл изотопияда мүмкін емес. Дегенмен, карталар гомотоптық; f-тен сәйкестікке дейінгі бір гомотопия H: [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] H(x, y) = 2yx − x арқылы беріледі. Шекарасында келісетін бірлік шардың екі гомеоморфизмі (олар енгізудің ерекше жағдайлары) Александртың амалын қолдана отырып, изотоптық екенін көрсетуге болады. Осы себепті, R2-де f(x, y) = (−x, −y) арқылы анықталатын бірлік дискісінің картасы бастапқы нүктеден 180 градусқа айналуға изотоптық, сондықтан сәйкестік картасы мен f изотоптық, өйткені оларды айналу арқылы байланыстыруға болады. Геометриялық топологияда, мысалы, түйін теориясында, теңдестік қатынастарын құру үшін изотопия идеясы қолданылады. Мысалы, екі түйін қашан бірдей деп есептелуі керек? Біз үш өлшемді кеңістікте K1 және K2 екі түйінін аламыз. Түйін – бұл бір өлшемді кеңістіктің, «жіптің иірімі» (немесе шеңбер) осы кеңістікке енгізілуі, ал бұл енгізу шеңбер мен оның енгізілген кеңістіктегі бейнесі арасындағы гомеоморфизмді береді. Түйіннің эквиваленттілігі туралы түсініктің негізіндегі интуитивті идея – біреу бір енгізуді енгізулер жолы арқылы екіншісіне деформациялай алады: t = 0-да K1 енгізуін беретін үздіксіз функция, t = 1-де K2 енгізуін аяқтайды, ал барлық аралық мәндер енгізулерге сәйкес келеді. Бұл изотопияның анықтамасына сәйкес келеді. Осы контексте зерттелген қоршаған ортаның изотопиясы – енгізілген субманопольдқа әсерін ескере отырып қарастырылған үлкен кеңістіктің изотопиясы. K1 және K2 түйіндері K1-ді K2-ге жылжытатын қоршаған изотопия болған кезде эквивалентті деп есептеледі. Бұл топологиялық санаттағы тиісті анықтама. Эквиваленттік ұғымын күшейтетін жағдайларда эквиваленттік ұғым үшін ұқсас тіл қолданылады. Мысалы, екі тегіс енгізу арасындағы жол тегіс изотопия болып табылады.

When two given continuous functions f and g from the topological space X to the topological space Y are embeddings, one can ask whether they can be connected 'through embeddings'. This gives rise to the concept of isotopy, which is a homotopy, H, in the notation used before, such that for each fixed t, H(x, t) gives an embedding. A related, but different, concept is that of ambient isotopy. Requiring that two embeddings be isotopic is a stronger requirement than that they be homotopic. For example, the map from the interval [−1, 1] into the real numbers defined by f(x) = −x is not isotopic to the identity g(x) = x. Any homotopy from f to the identity would have to exchange the endpoints, which would mean that they would have to 'pass through' each other. Moreover, f has changed the orientation of the interval and g has not, which is impossible under an isotopy. However, the maps are homotopic; one homotopy from f to the identity is H: [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] given by H(x, y) = 2yx − x. Two homeomorphisms (which are special cases of embeddings) of the unit ball which agree on the boundary can be shown to be isotopic using Alexander's trick. For this reason, the map of the unit disc in R2 defined by f(x, y) = (−x, −y) is isotopic to a 180 degree rotation around the origin, and so the identity map and f are isotopic because they can be connected by rotations. In geometric topology—for example in knot theory—the idea of isotopy is used to construct equivalence relations. For example, when should two knots be considered the same? We take two knots, K1 and K2, in three dimensional space. A knot is an embedding of a one dimensional space, the "loop of string" (or the circle), into this space, and this embedding gives a homeomorphism between the circle and its image in the embedding space. The intuitive idea behind the notion of knot equivalence is that one can deform one embedding to another through a path of embeddings: a continuous function starting at t = 0 giving the K1 embedding, ending at t = 1 giving the K2 embedding, with all intermediate values corresponding to embeddings. This corresponds to the definition of isotopy. An ambient isotopy, studied in this context, is an isotopy of the larger space, considered in light of its action on the embedded submanifold. Knots K1 and K2 are considered equivalent when there is an ambient isotopy which moves K1 to K2. This is the appropriate definition in the topological category. Similar language is used for the equivalent concept in contexts where one has a stronger notion of equivalence. For example, a path between two smooth embeddings is a smooth isotopy.

Уақытша гомотопия

Лоренцтік көптікте белгілі бір қисықтар уақытқа ұқсас (әр жергілікті кадрда тек алға, артқа емес, уақыт бойынша қозғалатынын көрсетеді) деп ерекшеленеді. Екі уақытқа ұқсас қисық арасындағы уақытқа ұқсас гомотопия – бұл гомотопия, онда қисық бір қисықтан екіншісіне үздіксіз түрленген кезде уақытқа ұқсас күйінде қалады. Лоренцтік көптіктегі жабық уақыт тәрізді қисық (CTC) нүктеге уақыт тәрізді гомотопты (яғни, нөлдік уақыт тәрізді гомотопты) болмайды; сондықтан мұндай көптік уақыт тәрізді қисықтармен көп байланысты деп есептеледі. 3-сфера сияқты көптік кез келген қисық түрімен жай байланысты болуы мүмкін, бірақ уақыт тәрізді көп байланысты да болуы мүмкін.

Топтар

Субкеңістікке қатысты екі функцияның гомотоптық байланысы эквиваленттік қатынас болғандықтан, біз белгілі бір X пен Y арасындағы карталардың эквиваленттік сыныптарын қарастыра аламыз. Егер біз [0, 1] бірлік аралығын өзімен-өзі n рет көшіріп, оның шекарасын субкеңістік ретінде алсақ, онда эквиваленттік сыныптар топты құрайды, ол арқылы белгіленеді, мұнда субкеңістіктің бейнесінде жатыр. Біз бір эквиваленттік сыныптың екіншісіне әсерін анықтай аламыз, соның нәтижесінде топқа ие боламыз. Бұл топтар гомотопиялық топтар деп аталады. жағдайында, оны негізгі топ деп те атайды.

Гомотопиялық категория

Гомотопия идеясын категория теориясының формальды санатына айналдыруға болады. Гомотопиялық категория – объектілері топологиялық кеңістіктер, ал морфизмдері үздіксіз бейнелеулердің гомотопиялық теңдестік кластары болатын категория. Екі топологиялық кеңістік X және Y осы категорияда изоморфты, егер және тек қана олар гомотопиялық эквивалент болса. Топологиялық кеңістіктер санатындағы функтор гомотопиялық инвариантты болады, егер оны гомотопиялық категориядағы функтор ретінде беруге болады. Мысалы, гомологиялық топтар – функторлық гомотопиялық инварианттар: яғни, егер f және g функциялары X-тен Y-ге гомотопиялық болса, онда гомологиялық топтар деңгейінде f және g функцияларынан туындаған гомоморфизмдер бірдей болады: Hn(f) = Hn(g) : Hn(X) → Hn(Y) барлық n үшін. Сол сияқты, егер X және Y кеңістіктері қосымша жолмен байланысқан болса, және f және g арасындағы гомотопия нүктелік болса, онда гомотопиялық топтар деңгейінде f және g функцияларынан туындаған гомоморфизмдер де бірдей болады: πn(f) = πn(g) : πn(X) → πn(Y).

Қолданбалар

Гомотопия тұжырымына сүйене отырып, алгебралық және дифференциалдық теңдеулерді есептеу әдістері әзірленді. Алгебралық теңдеулерге арналған әдістер гомотопиялық жалғастыру әдісі және жалғастыру әдісін қамтиды (сандық жалғастыру қараңыз). Дифференциалдық теңдеулерге арналған әдістердің ішінде гомотопиялық талдау әдісі бар. Гомотопия теориясы гомология теориясының негізі ретінде қолданылуы мүмкін: X кеңістігіндегі гомотопиялық функторды, X-ті тиісті бекітілген кеңістікке бейнелеу арқылы, гомотопиялық эквиваленттілікке дейін ұсынуға болады. Мысалы, кез келген абельдік топ G және кез келген негізделген CW кешені X үшін, X-тен Эйленберг-Маклейн кеңістігіне негізделген карталардың негізделген гомотопиялық кластары жиынтығы, X кеңістігінің n-ші сингулярлы кохомология тобымен табиғи биекцияда болады. Айленберг-Маклейн кеңістіктерінің омега спектрі, G коэффициенттерімен сингулярлы кохомологияны ұсынушы кеңістіктер болып табылады делінеді.